题目描述
C国有 n 个大城市和 m 条道路,每条道路连接这 n 个城市中的某两个城市。
任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。
这 m 条道路中有一部分为单向通行的道路,一部分为双向通行的道路,双向通行的道路在统计条数时也计为1条。
C国幅员辽阔,各地的资源分布情况各不相同,这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。
但是,同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。
商人阿龙来到C国旅游。
当他得知“同一种商品在不同城市的价格可能会不同”这一信息之后,便决定在旅游的同时,利用商品在不同城市中的差价赚一点旅费。
设C国 n 个城市的标号从 1~n,阿龙决定从1号城市出发,并最终在 n 号城市结束自己的旅行。
在旅游的过程中,任何城市可以被重复经过多次,但不要求经过所有 n 个城市。
阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费:他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品——水晶球,并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球,用赚取的差价当做旅费。
因为阿龙主要是来C国旅游,他决定这个贸易只进行最多一次,当然,在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。
现在给出 n 个城市的水晶球价格,m 条道路的信息(每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况)。
请你告诉阿龙,他最多能赚取多少旅费。
样例
INPUT
5 5
4 3 5 6 1
1 2 1
1 4 1
2 3 2
3 5 1
4 5 2
OUTPUT
5
本题解主要参考luogu上有关分层图的题解
考虑建边问题:
1.由于可以任意走动,所以每一层的图的边全都是0
2.进行买入操作,就建立一条大小为-v[i]的有向边转移到第二层图上
最后走向终点,我们有两种合法的操作:
1.不买卖直接走向终点。那么将第一层图的n号节点接入“超级终点”
2.买卖一次后走向终点。那么将第三层图的n号节点接入“超级终点”
而我们最终的答案,就是求从第一层图的1号点,经过三层图走到“超级终点”的最长路。
C++ 代码
//使用分层图的做法
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node {
int v, w;
};
int n, m, p[100010], dis[500010];
bool inq[500010];
vector <node> g[500010];
queue <int> q;
void AddEdge(int x, int y, int z) {
g[x].push_back((node){y, z});
}
void addedge(int x, int y) {
AddEdge(x, y, 0);
AddEdge(x + n, y + n, 0);
AddEdge(x + 2 * n, y + 2 * n, 0);//将三层的对应道路连起来
AddEdge(x, y + n, -p[x]);
AddEdge(x + n, y + 2 * n, p[x]);//层与层之间连起来
}
void spfa() {//spfa求最长路,即答案
for (int i = 1; i <= n; ++i) dis[i] = -INT_MAX / 4;
dis[1] = 0; inq[1] = true; q.push(1);
while (!q.empty()) {
int f = q.front(); q.pop();
inq[f] = false;
// cerr << f << endl;
for (int i = 0; i < g[f].size(); ++i) {
node now = g[f][i];
if (dis[f] + now.w > dis[now.v]) {
dis[now.v] = dis[f] + now.w;
if (!inq[now.v]) {
q.push(now.v);
inq[now.v] = true;
}
}
}
}
}
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> p[i];
for (int i = 1; i <= m; ++i) {
int x, y, z; cin >> x >> y >> z;
addedge(x, y);
if (z == 2) addedge(y, x);
}
AddEdge(n, n * 3 + 1, 0);
AddEdge(n * 3, n * 3 + 1, 0);//将第一层和第三层连向超级终点
n = n * 3 + 1;
spfa();
cout << dis[n] << endl;
return 0;
}
2 1
1 4
1 2 1
这组样例是错的
AddEdge(2n,3n+1,p[n]);
加上这句话就对了,因为在n点有卖出的情况
分层建图确实可以解决许多问题