题目描述

设有N堆石子排成一排，其编号为1，2，3，…，N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述，现在要将这N堆石子合并成为一堆。

每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并1、2堆，代价为4，得到4 5 2， 又合并 1，2堆，代价为9，得到9 2 ，再合并得到11，总代价为4+9+11=24；

如果第二步是先合并2，3堆，则代价为7，得到4 7，最后一次合并代价为11，总代价为4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

输入格式

第一行一个数N表示石子的堆数N。

第二行N个数，表示每堆石子的质量(均不超过1000)。

输出格式

输出一个整数，表示最小代价。

数据范围

1≤N≤300

输入样例：

4
1 3 5 2

输出样例：

22

涉及考点：

区间DP、前缀和

类似题

密码脱落

解题思路：

闫氏DP分析法

一、状态表示：f[i][j]
1. 集合：所有将第i堆石子到第j堆石子的合并为一堆的方案
2. 属性：最小值

二、状态计算：
1. 思想-----集合的划分
2. 集合划分依据：根据最后一步左边的哪一部分与右边的哪一部分合并进行分类, 即根据分界线来分类
f[l][r] = min(f[l][r], f[l][k] + f[k + 1][r] + w[r] - w[l - 1]);

核心步骤：

1. 枚举区间长度
2. 枚举区间左端点
3. 计算区间右端点
4. 枚举分界点

C ++代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 310, INF = 0x3f3f3f3f;

int w[N];//石子的重量兼前缀和数组
int f[N][N];//f[i][j]表示：从第i堆石子到第j堆石子合并方案的代价的最小值
int n;

int main(){
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        cin >> w[i];//读取石子质量
        w[i] += w[i - 1];//前缀和, 表示：下标从1到i的所有石子的总质量
    }

    memset(f, INF, sizeof f);//方案数组初始化

    for(int i = 1; i <= n; i ++) f[i][i] = 0;//区间长度为1,即只有一堆石子,无需合并,代价为0

    for(int len = 2; len <= n; len ++){//枚举区间长度,即一次枚举相邻两堆、相邻三堆···
        for(int l = 1; l + len - 1 <= n; l ++){//枚举区间左端点
            int r = l + len - 1;//右端点
            for(int k = l; k < r; k ++){//枚举分割点,k不能取r,因为当k取r时,f[k + 1][r]越界.
                f[l][r] = min(f[l][r], f[l][k] + f[k + 1][r] + w[r] - w[l - 1]);
            }
        }
    }

    cout << f[1][n] << endl;//表示合并第一堆到第n堆石子代价的最小值

    return 0;
}