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这两天没更新，因为每天都有OI的集训，早八晚九
于是就鸽了6篇题解没写

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前置知识

1. 求一个数二进制表示中最低的非零位，使用lowbit函数。

C++演示：

int lowbit(int x)
{
    return x & -x;
}

2. 数据结构：树状数组

基本操作：

• 求区间$[L, R]$的和, 时间复杂度$O(\log n)$

  C++演示：

int qsum(int x)
{
    int res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i))
        res += tr[i];
    return res;
}

• 将第x个数加上c, 时间复杂度$O(\log n)$

  C++演示：

void add(int x, int c)
{
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
        tr[i] += c;
}

题目描述

在完成了分配任务之后，西部 314 来到了楼兰古城的西部。

相传很久以前这片土地上(比楼兰古城还早)生活着两个部落，一个部落崇拜尖刀(V)，一个部落崇拜铁锹(∧)，他们分别用V 和 ∧ 的形状来代表各自部落的图腾。

西部 314 在楼兰古城的下面发现了一幅巨大的壁画，壁画上被标记出了 $n$ 个点，经测量发现这 $n$ 个点的水平位置和竖直位置是两两不同的。

西部 314 认为这幅壁画所包含的信息与这 $n$个点的相对位置有关，因此不妨设坐标分别为 $(1,y_1),(2,y_2),…,(n,y_n)$
，其中 $y_1∼y_n$ 是 $1$ 到 $n$ 的一个排列。

西部 314 打算研究这幅壁画中包含着多少个图腾。

如果三个点 $(i,y_i),(j,y_j),(k,y_k)$ 满足 $1≤i<j<k≤n$ 且 $y_i>y_j,y_j<y_k$，则称这三个点构成 V 图腾;

如果三个点 $(i,y_i),(j,y_j),(k,y_k)$满足 $1≤i<j<k≤n$ 且 $y_i<y_j,y_j>y_k$，则称这三个点构成 ∧ 图腾;

西部 314 想知道，这 $n$ 个点中两个部落图腾的数目。

因此，你需要编写一个程序来求出 V 的个数和 ∧ 的个数。

输入格式

第一行一个数 $n$。

第二行是 $n$ 个数，分别代表 $y_1，y_2,…,y_n$.

输出格式

两个数，中间用空格隔开，依次为 V 的个数和 ∧ 的个数。

数据范围

对于所有数据，$n≤200000$，且输出答案不会超过 int64。
$y_1∼y_n$ 是 $1$ 到 $n$ 的一个排列。

样例输入

5
1 5 3 2 4

样例输出

3 4

题目化简

设这三个点纵坐标分别为i, j, k;
这道题就是让我们求呈V或∧的3个点的数量。
V : i > j < k
^ : i < j > k

思路

我们发现，对于每一个点$A(x, y),$既可以将$y$轴分为$[0,y-1]$与$[y+1,n]$两段区间，又可以将$x$轴分为$[0,x-1]$与$[x+1,n]$两段区间。

根据乘法原理，我们可以用树状数组维护$[0,x-1]$与$[x+1,n]$两段区间中纵坐标大于（或小于）y（既纵坐标位于$[y+1,n]$区间）的点的个数，用high[]和low[]数组存储，再将它们相乘。

具体做法：
1. 从左向右依次遍历$a[i]$,使用树状数组统计它前面比它大和比它小的点的个数
在统计完成后，将$a[i]$加入树状数组
2. 清空树状数组
3. 从右向左依次遍历$a[i]$,使用树状数组统计它后面比它大和比它小的点的个数
在统计完成后，将$a[i]$加入树状数组

算法时间复杂度

对于每一个点都使用树状数组，因此时间复杂度为$O(n\log n)$

AC Code

$C++$

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

typedef long long LL; 

const int N = 200010;

int n;
int a[N];
int tr[N];
int low[N], high[N];

int lowbit(int x) // 求x的二进制表示的最后一位1 
{
    return x & -x;
}

void add(int x, int c) // 快速修改某个数，让a[x] + c，O(logn) 
{
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
        tr[i] += c;
}

int qsum(int x) // 快速求1~x的和，O(logn) 
{
    int res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i))
        res += tr[i];
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        scanf("%d", &a[i]);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        int y = a[i];
        high[i] = qsum(n) - qsum(y); // 比a[i]大的点的个数
        low[i] = qsum(y - 1); // 比a[i]小的点的个数
        add(y, 1);
    }

    memset(tr, 0, sizeof(tr)); // 清空树状数组
    LL r1 = 0, r2 = 0; 
    for (int i = n; i; i -- )
    {
        int y = a[i];
        r1 += high[i] * (LL)(qsum(n) - qsum(y)); // v图腾 
        r2 += low[i] * (LL)(qsum(y - 1)); // ^图腾 
        add(y, 1);
    }

    printf("%lld %lld\n", r1, r2);

    return 0;
}

最后，如果觉得对您有帮助的话，点个赞再走吧！