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题目描述

设有 $N×N$ 的方格图，我们在其中的某些方格中填入正整数，而其它的方格中则放入数字$0$。如下图所示：

某人从图中的左上角 $A$ 出发，可以向下行走，也可以向右行走，直到到达右下角的 $B$ 点。

在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字$0$）。

此人从 $A$ 点到 $B$ 点共走了两次，试找出两条这样的路径，使得取得的数字和为最大。

输入格式

第一行为一个整数N，表示 N×N 的方格图。

接下来的每行有三个整数，第一个为行号数，第二个为列号数，第三个为在该行、该列上所放的数。

行和列编号从 1 开始。

一行“0 0 0”表示结束。

输出格式

输出一个整数，表示两条路径上取得的最大的和。

数据范围

$N≤10$

样例输入

8
2 3 13
2 6 6
3 5 7
4 4 14
5 2 21
5 6 4
6 3 15
7 2 14
0 0 0

样例输出

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思路

本题为DP问题，可以使用闫氏DP分析法解题。

DP：

• 状态表示$f[k][i1][i2]$：
  ······集合：所有从$(1, 1)$走到$(i1, k - i1)$与$(i2, k - i2)$的路径
  ······属性：$\max$
  

• 状态计算：
  ······因为有两条路径，而每条路径都有梁两种走法（向右或向下）
  ······所以集合划分一共有四种类型
  
  状态转移方程： $f[k][i1][i2]=$
  $\max(f[k-1][i1][i2],f[k-1][i1-1][i2-1],f[k-1][i1-1][i2],f[k-1][i1][i2-1])$
  作者按：这题数据范围及其小，开4维数组也是能开下的，下面是优化成3维后的代码。

$AC$ $Code$:

$C++$

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 15;

int n;
int w[N][N];
int f[N * 2][N][N];

int main()
{
    scanf("%d", &n);

    int a, b, c;
    while (cin >> a >> b >> c, a || b || c)
        w[a][b] = c; // 只要不是0 0 0就一直输入

    for (int k = 2; k <= 2 * n; k ++ )
        for (int i1 = 1; i1 <= n; i1 ++ )
            for (int i2 = 1; i2 <= n; i2 ++ )
            {
                int j1 = k - i1, j2 = k - i2; // 求出两个点的纵坐标值
                if (j1 < 1 || j1 > n || j2 < 1 || j2 > n)
                    continue; // 判断，若坐标不合法则跳过
                int t = w[i1][j1];
                if (i1 != i2) t += w[i2][j2]; 
                // 判断，如果两点坐标不相等，则这两点不重合，将值加到t中
                int &x = f[k][i1][i2]; // 取地址，节省代码量
                x = max(x, f[k - 1][i1 - 1][i2 - 1] + t); // 两条路径都向下走
                x = max(x, f[k - 1][i1 - 1][i2] + t); // 第一条向下，第二条向右
                x = max(x, f[k - 1][i1][i2 - 1] + t); // 第一条向右，第二条向下
                x = max(x, f[k - 1][i1][i2] + t); // 两条路径都向右走
            }

    printf("%d\n", f[n * 2][n][n]);

    return 0;
}

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大家敲代码的时候一定要按照y总的格式写啊 （逃