题目描述

一个商人穿过一个 $N×N$ 的正方形的网格，去参加一个非常重要的商务活动。

他要从网格的左上角进，右下角出。

每穿越中间 $1$ 个小方格，都要花费 $1$ 个单位时间。

商人必须在 $(2N−1)$ 个单位时间穿越出去。

而在经过中间的每个小方格时，都需要缴纳一定的费用。

这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。

请问至少需要多少费用？

注意：不能对角穿越各个小方格（即，只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格）。

输入格式

第一行是一个整数，表示正方形的宽度 $N$。

后面 $N$ 行，每行 $N$ 个不大于 $100$ 的正整数，为网格上每个小方格的费用。

输出格式

输出一个整数，表示至少需要的费用。

数据范围

$1≤N≤100$

样例输入

5
1  4  6  8  10
2  5  7  15 17
6  8  9  18 20
10 11 12 19 21
20 23 25 29 33

样例输出

109

思路

本题为DP问题，可以使用闫氏DP分析法解题。

DP：

• 状态表示$f[i][j]$：
  ······集合：所有从点$(1, 1)$走到点$(i, j)$的路线
  ······属性：$\min$
• 状态计算：
  ······$f[i][j]$可以由$f[i - 1][j]$ 或 $f[i][j - 1]$通过一步变换得到。
  ······但是因为求最小值，还需要处理边界情况。
  ······处理第一行与第一列的情况，将其设为大数。

$AC$ $Code$:

$C++$

#include <iostream>
#include <string.h>

using namespace std;

const int N = 110, inf = 2e9;

int n;
int a[N][N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            scanf("%d", &a[i][j]);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (i == 1 && j == 1) f[i][j] = a[i][j];//特判
            else
            {
                f[i][j] = inf;
                if (i > 1) f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j] + a[i][j]);
                if (j > 1) f[i][j] = min(f[i][j], f[i][j - 1] + a[i][j]);
            }

    printf("%d\n", f[n][n]);

    return 0;
}

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