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熊大妈的奶牛在小沐沐的熏陶下开始研究信息题目。

小沐沐先让奶牛研究了最长上升子序列，再让他们研究了最长公共子序列，现在又让他们研究最长公共上升子序列了。

小沐沐说，对于两个数列 $A$ 和 $B$，如果它们都包含一段位置不一定连续的数，且数值是严格递增的，那么称这一段数是两个数列的公共上升子序列，而所有的公共上升子序列中最长的就是最长公共上升子序列了。

奶牛半懂不懂，小沐沐要你来告诉奶牛什么是最长公共上升子序列。

不过，只要告诉奶牛它的长度就可以了。

数列 $A$ 和 $B$ 的长度均不超过 $3000$。

输入格式

第一行包含一个整数 $N$，表示数列 $A，B$ 的长度。

第二行包含 $N$ 个整数，表示数列 $A$。

第三行包含 $N$ 个整数，表示数列 $B$。

输出格式

输出一个整数，表示最长公共上升子序列的长度。

数据范围

$1 \le N \le 3000$,序列中的数字均不超过 $2^{31}-1$。

输入样例：

4
2 2 1 3
2 1 2 3

输出样例：

2

思路1

状态表示：$f_{i,j}$

• 集合：考虑$a$中的前$i$个数，$b$中的前$j$个数，且以$b_j$结尾的$LCIS$
• 属性：$\max$

状态转移：

• 考虑$a$中的前$i-1$个数，$b$中前$j$个数，且以$b_j$为结尾的$LCIS$的长度为$f_{i-1,j}$
• 考虑$a$中的前$i$个数，$b$中前$k$个数，且以$b_k$为结尾的$LCIS$的长度为$f_{i - 1,k}\quad k \in [0,j-1],a_i = b_j,b_k < b_j$
• 所以状态转移方程就是$f_{i,j} = \underset{k\in [0,j-1],a_i=b_j,b_k<b_j}\max{\{f_{i-1,j},f_{i-1,k}+1\}}$
• 即$f_{i,j} = \underset{k\in [0,j-1],b_k<a_i}\max{\{f_{i-1,j},f_{i-1,k}+1\}}$

代码1

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 3010;
int n;
int a[N],b[N];
int f[N][N];
int main () {
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i];
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> b[i];
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        for (int j = 1;j <= n;j++) {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (a[i] == b[j]) {
                f[i][j] = max (f[i - 1][j],1);
                for (int k = 1;k <= j - 1;k++) {
                    if (b[k] < a[i]) f[i][j] = max (f[i][j],f[i][k] + 1);
                }
            }
        }
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 1;i <= n;i++) ans = max (ans,f[n][i]);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

思路2

前面之所以把$b_j$换成$a_i$是因为方便现在考虑。
由于在枚举计算$f_{i,j}$时，却用到的是和内层循环（即$b_j$）无关的，只和外层循环（即$a_i$）有关，而我们在计算$f_{i,j}$，每次都要用到前$j-1$个数中小于$a_i$的$f_{i,j}$最大值，所以我们可以用一个变量不断更新它来保存前$j-1$的答案。

代码2

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 3010;
int n;
int a[N],b[N];
int f[N][N];
int main () {
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i];
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> b[i];
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        int maxv = 1;
        for (int j = 1;j <= n;j++) {
            f[i][j] = max (f[i][j],f[i - 1][j]);
            if (a[i] == b[j]) f[i][j] = max (f[i][j],maxv);
            if (b[j] < a[i]) maxv = max (maxv,f[i - 1][j] + 1);
        }
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 1;i <= n;i++) ans = max (ans,f[n][i]);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}