$$\color{Red}{最大上升子序列和}$$

我做的所有的题解

包括基础提高以及一些零散刷的各种各样的题

一个数的序列 bi，当 b1<b2<…<bS 的时候，我们称这个序列是上升的。

对于给定的一个序列(a1,a2,…,aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1,ai2,…,aiK)，这里1≤i1<i2<…<iK≤N。

比如，对于序列(1,7,3,5,9,4,8)，有它的一些上升子序列，如(1,7),(3,4,8)等等。

这些子序列中和最大为18，为子序列(1,3,5,9)的和。

你的任务，就是对于给定的序列，求出最大上升子序列和。

注意，最长的上升子序列的和不一定是最大的，比如序列(100,1,2,3)的最大上升子序列和为100，而最长上升子序列为(1,2,3)。

输入格式
输入的第一行是序列的长度N。

第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000(可能重复)。

输出格式
输出一个整数，表示最大上升子序列和。

数据范围

1 ≤ N ≤ 1000

输入样例：

7
1 7 3 5 9 4 8

输出样例：

18

证明

不要因为同一个模型求的东西变化就感觉变了，我们只是集合和存储的属性变了，但是本质还是最长上升子序列，所以我们换成结尾元素结尾的集合，属性为max即可

本题和最上上升子序列的区别就是求的是最大的序列和，那只需要让之前规划f[i]的保存以a[i]为结尾的最大上升子序列和，f[i] = max(f[i], f[j] + a[i])

之前有个关键点就是初始化f[i] = 1，保证最后的结果加上了本身这个序列自己的长度，即1。这道题保存值，故要给每个f[i] = a[i]，保证动态规划的过程中，能加上自己的这位结尾的位置的值

java

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;

public class Main {
    static int N = 1010, n;
    static int[] f = new int[N];
    static int[] a = new int[N];
    static BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        n = Integer.parseInt(br.readLine());
        String [] str = br.readLine().split(" ");
        int res = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            a[i] = Integer.parseInt(str[i-1]);
            f[i] = a[i];
            for (int j = 1; j < i; j++) {
                if (a[i] > a[j])
                    f[i] = Math.max(f[i], f[j] + a[i]);
            }
            res = Math.max(res, f[i]);
        }
        System.out.println(res);
    }
}

python

N = 1010
f = [0] * N
n = int(input()) 
a = [0] + [int(x) for x in input().split()]

res = 0
for i in range(1, n+1):
    f[i] = a[i]
    for j in range(1, i):
        if a[i] > a[j]:
            f[i] = max(f[i], f[j] + a[i])
    res = max(res, f[i])

print(res)