[NOIP2016 普及组] 魔法阵
题目背景
NOIP2016 普及组 T4
题目描述
六十年一次的魔法战争就要开始了,大魔法师准备从附近的魔法场中汲取魔法能量。
大魔法师有 m 个魔法物品,编号分别为 1,2,…,m。每个物品具有一个魔法值,我们用 Xi 表示编号为 i 的物品的魔法值。每个魔法值 Xi 是不超过 n 的正整数,可能有多个物品的魔法值相同。
大魔法师认为,当且仅当四个编号为 a,b,c,d 的魔法物品满足 Xa<Xb<Xc<Xd,Xb−Xa=2(Xd−Xc),并且 Xb−Xa<(Xc−Xb)/3 时,这四个魔法物品形成了一个魔法阵,他称这四个魔法物品分别为这个魔法阵的 A 物品,B 物品,C 物品,D 物品。
现在,大魔法师想要知道,对于每个魔法物品,作为某个魔法阵的 A 物品出现的次数,作为 B 物品的次数,作为 C 物品的次数,和作为 D 物品的次数。
输入格式
第一行包含两个空格隔开的正整数 n,m。
接下来 m 行,每行一个正整数,第 i+1 行的正整数表示 Xi,即编号为 i 的物品的魔法值。
保证 1≤n≤15000,1≤m≤40000,1≤Xi≤n。每个 Xi 是分别在合法范围内等概率随机生成的。
输出格式
共 m 行,每行 4 个整数。第 i 行的 4 个整数依次表示编号为 i 的物品作 为 A,B,C,D 物品分别出现的次数。
保证标准输出中的每个数都不会超过 109。每行相邻的两个数之间用恰好一个空格隔开。
样例 #1
样例输入 #1
30 8
1
24
7
28
5
29
26
24
样例输出 #1
4 0 0 0
0 0 1 0
0 2 0 0
0 0 1 1
1 3 0 0
0 0 0 2
0 0 2 2
0 0 1 0
样例 #2
样例输入 #2
15 15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
样例输出 #2
5 0 0 0
4 0 0 0
3 5 0 0
2 4 0 0
1 3 0 0
0 2 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 2 1
0 0 3 2
0 0 4 3
0 0 5 4
0 0 0 5
提示
【样例解释 1】
共有 5 个魔法阵,分别为:
物品 1,3,7,6,其魔法值分别为 1,7,26,29;
物品 1,5,2,7,其魔法值分别为 1,5,24,26;
物品 1,5,7,4,其魔法值分别为 1,5,26,28;
物品 1,5,8,7,其魔法值分别为 1,5,24,26;
物品 5,3,4,6,其魔法值分别为 5,7,28,29。
以物品 5 为例,它作为 A 物品出现了 1 次,作为 B 物品出现了 3 次,没有作为 C 物品或者 D 物品出现,所以这一行输出的四个数依次为 1,3,0,0。
此外,如果我们将输出看作一个 m 行 4 列的矩阵,那么每一列上的 m 个数之和都应等于魔法阵的总数。所以,如果你的输出不满足这个性质,那么这个输出一定不正确。你可以通过这个性质在一定程度上检查你的输出的正确性。
【数据规模】
编号 | n | m | 编号 | n | m |
---|---|---|---|---|---|
1 | =10 | =12 | 11 | =150 | =250 |
2 | =15 | =18 | 12 | =200 | =350 |
3 | =20 | =25 | 13 | =250 | =500 |
4 | =30 | =35 | 14 | =350 | =700 |
5 | =40 | =50 | 15 | =500 | =1000 |
6 | =50 | =70 | 16 | =700 | =2000 |
7 | =65 | =100 | 17 | =1000 | =5000 |
8 | =80 | =125 | 18 | =2000 | =10000 |
9 | =100 | =150 | 19 | =5000 | =20000 |
10 | =125 | =200 | 20 | =15000 | =40000 |
题目分析
阅读题目,可知题目要求的是,每件物品作为A,B,C,D物品分别出现的次数。
四个元素需要满足的条件为:
-
Xa<Xb<Xc<Xd
-
Xb−Xa=2(Xd−Xc)
- Xb−Xa<(Xc−Xb)/3
条件1表明元素严格单调递增。我们可将元素先进行排序和去重。之后枚举出所有的四元组合,统计各组合中元素出现的个数。
但是统计过程中需要注意的问题是会出现重复的元素。对应位置数值的次数为该数值出现在对应位置的组合数的数量,利用乘法原理可得到组合数量为其他三个元素的出现次数的乘积。
for(int ai=1;ai<=mm;ai++){
for(int bi=ai+1;bi<=mm;bi++){
for(int ci=bi+1;ci<=mm;ci++){
for(int di=ci+1;di<=m;di++){
if(满足 条件2 和 条件3){
cnta[x[ai]]+=cnt[x[bi]]*cnt[x[ci]]*cnt[x[di]];
cntb[x[bi]]+=cnt[x[ai]]*cnt[x[ci]]*cnt[x[di]];
cntc[x[ci]]+=cnt[x[ai]]*cnt[x[bi]]*cnt[x[di]];
cntd[x[di]]+=cnt[x[ai]]*cnt[x[bi]]*cnt[x[ci]];
}
}
}
}
}
此时时间复杂为Θ(n4),只能获得一部分的分数。
此时尝试对暴力枚举的方式进行优化。首先可以减少枚举的对象,根据条件2,可发现xd=xb−xa2+xc 。
那么只需要三重循环即可实现,时间复杂度降为Θ(n3) 。
for(int i=1;i<=m;i++){
for(int j=i+1;j<=m;j++){
if((x[j]-x[i])%2!=0) continue;//不满足条件2
for(int k=j+1;k<=m;k++){
int d=x[k]+(x[j]-x[i])/2;//求出元素d
if(d<=x[k] || cnt[d]==0 ) continue;//四个数非递增或求出的d不存在则不符合
if(3*(x[j]-x[i])>=x[k]-x[j]) continue;//不符合条件3
int num=cnt[x[i]]*cnt[x[j]]*cnt[x[k]]*cnt[d];
cnta[x[i]]+=num/cnt[x[i]];
cntb[x[j]]+=num/cnt[x[j]];
cntc[x[k]]+=num/cnt[x[k]];
cntd[d]+=num/cnt[d];
}
}
}
可过17个测试点。
优化
再次尝试进行优化。仔细观察对应的三个条件。
-
Xa<Xb<Xc<Xd
-
Xb−Xa=2(Xd−Xc)
- Xb−Xa<(Xc−Xb)/3
我们设t=Xd−Xc 。
-
Xa<Xb<Xc<Xd
-
Xb−Xa=2t
- 2t<(Xc−Xb)/3
整理一下,可得到这些关系描述。
- Xa<Xb<Xc<Xd
- Xb=Xa+2t
- Xd=Xc+t
- Xc−Xb>6t
此时,我们可以枚举t可能出现的值。在确定t的基础上,探讨、确定d的值,从而确定可能的c、d组合的元素值和数量。 再确定a的值,从而确定a、b组合的元素值和数量。
数值的范围为n,所以得到如下的大小关系。
可发现,因为严格递增,所以t最小为1。d=a+9t+k,k>=1 。所以d≤n即9t≤n−2 。
a最小为1,所以9t+2≤d≤n 。
此时
- c=d−t 。
确定d、t后,c的值就能固定下来。但a、b的值由于k的不固定,会存在多组。
- a=d−9t−k
- b=a+2t
k≥1 ,所以a、b最大的一组为
- a=d−9t−1
- b=a+2t
对于任意一组四元组,a,b,c,d。根据乘法原理,c,d的次数可以表示为:
ansc=cnta×cntb×cntd
ansd=cnta×cntb×cntc
若存在m组可行的a、b。对于已固定值的c、d,它们的次数可表示为:
ansc=cnta1×cntb1×cntd+⋯+cntam×cntbm×cntd
ansc=m∑i=1cntai×cntbi×cntd
ansd=cnta1×cntb1×cntc+⋯+cntam×cntbm×cntc
ansd=m∑i=1cntai×cntbi×cntc
那么所有的a、b组进行前缀和处理即可。
同理,若固定t、a,即可确定a、b的数值,c、d会存在多组。需要注意的是,c、d在a、b的右侧,进行求和需要从右向左,后缀和思想。
for(int t=1;t*9<=(n-1);t++){//遍历 t
int sum=0;//a与b 组合的个数
for(int d=t*9+2;d<=n;d++){//遍历 d 的数值
int a=d-9*t-1;
int b=a+2*t;
int c=d-t;
sum+=cnt[a]*cnt[b];// 统计a,b组合的个数
cntc[c]+=sum*cnt[d];
cntd[d]+=sum*cnt[c];
}
sum=0;//c,d组合的个数
for(int a=n-9*t-1;a>=1;a--){//注意顺序
int b=a+t*2;
int d=a+9*t+1;
int c=d-t;
sum+=cnt[c]*cnt[d];
cnta[a]+=sum*cnt[b];
cntb[b]+=sum*cnt[a];
}
}
此时,整体时间复杂度为Θ(n29) ,可以满足该题目的时间限制。
代码实现
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=4e4+5;
int n,m;
struct node{
int id,val;
};
int x[N],rks[5],cnt[N],a[N];
int cnta[N],cntb[N],cntc[N],cntd[N];
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;++i){
scanf("%d",&x[i]);
cnt[x[i]]++;//统计x[i]出现的次数
}
//t=d-c
//a (2*t) b (6*t+k) c (t) d
for(int t=1;t*9<=(n-1);t++){//遍历 t
int sum=0;//a与b 组合的个数
for(int d=t*9+2;d<=n;d++){//遍历 d 的数值
int a=d-9*t-1;
int b=a+2*t;
int c=d-t;
sum+=cnt[a]*cnt[b];// 统计a,b组合的个数
cntc[c]+=sum*cnt[d];
cntd[d]+=sum*cnt[c];
}
sum=0;//c,d组合的个数
for(int a=n-9*t-1;a>=1;a--){//注意顺序
int b=a+t*2;
int d=a+9*t+1;
int c=d-t;
sum+=cnt[c]*cnt[d];
cnta[a]+=sum*cnt[b];
cntb[b]+=sum*cnt[a];
}
}
for(int i=1;i<=m;i++){
printf("%d %d %d %d\n",cnta[x[i]],cntb[x[i]],cntc[x[i]],cntd[x[i]]);
}
return 0;
}