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一个商人穿过一个 $N×N$ 的正方形的网格，去参加一个非常重要的商务活动。

他要从网格的左上角进，右下角出。

每穿越中间 $1$ 个小方格，都要花费 $1$ 个单位时间。

商人必须在 $(2N-1)$ 个单位时间穿越出去。

而在经过中间的每个小方格时，都需要缴纳一定的费用。

这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。

请问至少需要多少费用？

注意：不能对角穿越各个小方格（即，只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格）。

输入格式

第一行是一个整数，表示正方形的宽度 $N$。

后面 $N$ 行，每行 $N$ 个不大于 $100$ 的正整数，为网格上每个小方格的费用。

输出格式

输出一个整数，表示至少需要的费用。

数据范围

$1 \le N \le 100$

输入样例：

5
1  4  6  8  10
2  5  7  15 17
6  8  9  18 20
10 11 12 19 21
20 23 25 29 33

输出样例：

109

样例解释

样例中，最小值为 $109=1+2+5+7+9+12+19+21+33$。

思路

由于这题必须经过$2n-1$个格子，即只能向右或向下走，所以这题和摘花生思路是一样的。
闫氏$\text{DP}$分析法：
状态表示：$f_{i,j}$

• 集合：$f_{i,j}$表示从$(1,1)$到$(i,j)$的路径的集合
• 属性：$\min$

状态计算：

• 从上面走过来，也就对应着$f_{i-1,j}$
• 做左边走过来，也就对应着$f_{i,j-1}$
• 所以最后的状态转移方程就是$f_{i,j}=\min\lbrace f_{i-1,j},f_{i,j-1} \rbrace + a_{i,j}$

答案：

• 根据定义，答案就是$f_{n,n}$

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 110;
int n;
int a[N][N];
int dp[N][N];
int main () {
    cin >> n;
    memset (dp,0x3f,sizeof (dp));
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        for (int j = 1;j <= n;j++) {
            cin >> a[i][j];
        }
    }
    dp[1][1] = a[1][1];
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        for (int j = 1;j <= n;j++) {
            dp[i][j] = min (dp[i][j],min (dp[i-1][j]+a[i][j],dp[i][j-1]+a[i][j]));
        }
    }
    cout << dp[n][n] << endl;
    return 0;
}