算法基础课题解合集

本题是上一题的拓展算法，快速选择，顾名思义，就是快速选择数组中第 $k$ 小的数。

首先我们先来回忆一下 快速排序。

您当然可以排序一遍然后输出 $q[k]$

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, k, q[N];
void quick_sort(int l, int r){
    if (l == r) return;
    int x = q[l + r >> 1], i = l - 1, j = r + 1;
    while (i < j) {
        do i ++; while (q[i] < x);
        do j --; while (q[j] > x);
        if (i < j) 
            swap(q[i], q[j]);
    }
    quick_sort(l, j);
    quick_sort(j + 1, r);
}
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        scanf("%d", &q[i]);
    quick_sort(1, n);
    printf("%d", q[k]);
    return 0;
}

但是这样太慢了($O(logn)$)，所以我们可以优化一下。

优化

我们把目光聚焦在递归处理左右区间这一步，我们可以计算出左区间的长度，一个结论是，如果 $k$ 的长度 $\leq k$ 的话 ，则右区间一定不会是结果；反之，如果$k$ 严格大于左区间长度的话，左区间一定不会是结果。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 100005;
int n, k;
int q[N];

int quick_sort(int l, int r, int k)
{
    if (l == r) return q[l];
    int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1];
    while (i < j)
    {
        do i ++; while (q[i] < x);
        do j --; while (q[j] > x);
        if (i < j)
            swap(q[i], q[j]);
    }
    int sl = j - l + 1;
    if (k <= sl) 
        return quick_sort(l, j, k);
    else 
        return quick_sort(j + 1, r, k - sl);
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for (int i = 0; i < n; i ++)
        scanf("%d", &q[i]);
    printf("%d\n", quick_sort(0, n - 1, k));
    return 0;
}

该算法的时间复杂度是 $O(n)$