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题目描述

乔治拿来一组等长的木棒，将它们随机地砍断，使得每一节木棍的长度都不超过 $50$ 个长度单位。

然后他又想把这些木棍恢复到为裁截前的状态，但忘记了初始时有多少木棒以及木棒的初始长度。

请你设计一个程序，帮助乔治计算木棒的可能最小长度。

每一节木棍的长度都用大于零的整数表示。

输入格式

输入包含多组数据，每组数据包括两行。

第一行是一个不超过 $64$ 的整数，表示砍断之后共有多少节木棍。

第二行是截断以后，所得到的各节木棍的长度。

在最后一组数据之后，是一个零。

输出格式

为每组数据，分别输出原始木棒的可能最小长度，每组数据占一行。

数据范围

数据保证每一节木棍的长度均不大于 $50$。

输入样例：

9
5 2 1 5 2 1 5 2 1
4
1 2 3 4
0

输出样例：

6
5

算法

(DFS 剪枝优化) $O(n^k)$

$DFS$ 搜索顺序：根据木棒的长度从小到大枚举每根木棒，对于每根木棒，枚举可以由哪些木棍拼成，如果所有的木棍拼成了长度相等的多个木棒，说明找到了答案，否则木棒长度加 $1$ 继续搜索。

为什么是正确的？
因为题目要求保证拼凑成功的前提下，还有分组尽可能少，即木棒数量尽可能少，所以我们从小到大枚举每根木棒的长度，第一次找到答案时就是最优解。

剪枝优化：（各种优化，非常多）

1. 剪枝 1：sum % length == 0 只有 $length$ 是 $sum$ 的约数才有可能凑出多个等长的木棒
2. 剪枝 2：优化搜索顺序，木棍长度从大到小排序，可以减少搜索的分支
3. 排除等效冗余优化
   剪枝 3-1：确定每根木棒中木棍的枚举顺序，因为我们的方案和顺序没有关系，以组合的形式枚举方案可以少搜很多重复方案
   剪枝 3-2：如果当前木棍没有搜到方案，则跳过所有长度相等的木棍
   剪枝 3-3：如果是木棒的第一根木棍就搜索失败了，则一定搜不到方案
   剪枝 3-4：如果是木棒的最后一根木棍（+ 上它木棒长度正好是 length）搜索失败了，也一定搜不到方案

证明 3-3：如果在当前木棒 $a$ 的开头换一根木棍 $y$ 可以搜到方案，那么原来这根木棍 $x$一定在后面的某根木棒 $b$ 中，我们交换木棒 $b$ 的木棍 $x$ 和开头的木棍不会影响答案，那么此时就出现了以木棍 $x$ 开头的木棒搜到了答案，这我们的已知矛盾，所以只要有一根木棒的开头搜不到方案，不管这个位置放哪根木棍都搜不到方案。

证明 3-4：如果我们换几根 / 一根木棍 $y$ 放在当前木棒 $a$ 的最后可以搜到答案，那么原来这跟木棍 $x$ 也一定在后面的某根木棒 $b$ 中，因为 $x$ 和 $y$ 的长度相等，此时把 $x$ 交换过去，此时就出现了以木棍 $x$ 结尾的木棒搜到了答案，这我们的已知矛盾，所以只要有一根木棒的最后一根木棍搜不到方案，不管这个位置放哪根木棍都搜不到方案。

注意：这里有个前提是，当前木棒 + 最后一根木棍的总长度正好是 length，上面证明才成立。

具体实现看代码及注释。

时间复杂度

$O(n^k)$ 指数级别

空间复杂度

$O(n)$

C++ 代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 70;

int n;
int length, sum; // length 表示枚举的木棒的长度，sum 表示当前已经拼好的木棒的总长度
int w[N]; // 每根木棍的长度
bool st[N]; // 状态数组

// u：当前正在拼哪根木棒，s：当前木棒中已有木棍的总长度，start：从哪个位置开始枚举木棍
bool dfs(int u, int s, int start)
{
    if (u * length == sum) return true; // 如果当前木棒的数量 * 长度 = sum，则找到了答案，直接返回 true
    if (s == length) return dfs(u + 1, 0, 0); // 如果当前木棒的长度等于了 length，则新开一根木棒

    // 否则枚举从 start 开始枚举将哪根木棍拼到当前木棒中
    for (int i = start; i < n; i ++ ) { // 剪枝 3-1：确定枚举顺序，以组合的形式枚举方案
        if (st[i]) continue; // 如果当前木棍用过了，则跳过
        if (s + w[i] <= length) { // 如果当前木棒拼上该木棍没超过 length
            st[i] = true;
            if (dfs(u, s + w[i], i + 1)) return true; // 继续搜索当前木棒的下一根木棍拼哪根
            st[i] = false;

            // 执行到这 dfs(u, s + w[i], i + 1) 为 false: 说明当前木棍搜索失败了

            // 剪枝 3-3：如果是木棒的第一根木棍就搜索失败了，则一定搜不到方案
            if (!s) return false; // s = 0 表示刚才木棒拼的是第一根木棍

            // 剪枝 3-4：如果是木棒的最后一根木棍搜索失败了，也一定搜不到方案
            if (s + w[i] == length) return false;

            // 剪枝 3-2：如果当前木棍没有搜到方案，则跳过所有长度相等的木棍
            int j = i;
            while (j < n && w[i] == w[j]) j ++ ;
            i = j - 1;
        }
    }

    return false;
}

int main()
{
    while (cin >> n, n) {
        // 多组测试数据清空
        memset(st, 0, sizeof st);
        sum = 0;

        for (int i = 0; i < n; i ++ ) {
            cin >> w[i];
            sum += w[i];
        }

        // 剪枝 2：优化搜索顺序，木棍长度从大到小排序
        sort(w, w + n);
        reverse(w, w + n);

        length = 1; // 每根木棒的长度从 1 开始枚举，从小到大枚举，题目要求分组最多，那么第一个满足条件的就是答案
        while (true) { // 循环一定会退出，最坏情况下所有木棍拼一根木棒
            if (sum % length == 0 && dfs(0, 0, 0)) { // 剪枝 1：只有 length 是 sum 的约数才有可能凑出多个等长的木棒
                cout << length << endl;
                break;
            }
            length ++ ; // 当前 length 无法得到答案，则长度 + 1
        }
    }

    return 0;
}