题目描述

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

算法1

时间复杂度 $O(n^2)$

空间复杂度 $O(nm)$

C++ 代码

#include<iostream>
using namespace std;

const int N=1001;
int f[N][N];    //f[i][j]：表示只可以用前i件物品,背包容量为j的情况下,最大价值是多少.
int v[N],w[N];  //v[i]表示第i件物品的体积,w[i]表示第i件物品的价值.

int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];  //不选第i件物品
            if(j>=v[i])
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);   //选第i件物品
        }
    }
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0;
}

算法2

时间复杂度 $O(n^2)$

空间复杂度 $O(m)$

C++ 代码

#include<iostream>
using namespace std;

const int N=1001;
int f[N];
int v[N],w[N];

int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=m;j>=v[i];j--)
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    cout<<f[m]<<endl;
    return 0;
}