题目描述

我们将整数 x 的 权重 定义为按照下述规则将 x 变成 1 所需要的步数：

如果 x 是偶数，那么 x = x / 2
如果 x 是奇数，那么 x = 3 * x + 1
比方说，x=3 的权重为 7 。因为 3 需要 7 步变成 1 （3 –> 10 –> 5 –> 16 –> 8 –> 4 –> 2 –> 1）。

给你三个整数 lo， hi 和 k 。你的任务是将区间 [lo, hi] 之间的整数按照它们的权重 升序排序 ，如果大于等于 2 个整数有 相同 的权重，那么按照数字自身的数值 升序排序 。

请你返回区间 [lo, hi] 之间的整数按权重排序后的第 k 个数。

注意，题目保证对于任意整数 x （lo <= x <= hi） ，它变成 1 所需要的步数是一个 32 位有符号整数。

样例

输入：lo = 12, hi = 15, k = 2
输出：13
解释：12 的权重为 9（12 --> 6 --> 3 --> 10 --> 5 --> 16 --> 8 --> 4 --> 2 --> 1）
13 的权重为 9
14 的权重为 17
15 的权重为 17
区间内的数按权重排序以后的结果为 [12,13,14,15] 。对于 k = 2 ，答案是第二个整数也就是 13 。
注意，12 和 13 有相同的权重，所以我们按照它们本身升序排序。14 和 15 同理。

输入：lo = 1, hi = 1, k = 1
输出：1

输入：lo = 7, hi = 11, k = 4
输出：7
解释：区间内整数 [7, 8, 9, 10, 11] 对应的权重为 [16, 3, 19, 6, 14] 。
按权重排序后得到的结果为 [8, 10, 11, 7, 9] 。
排序后数组中第 4 个数字为 7 。

输入：lo = 10, hi = 20, k = 5
输出：13

输入：lo = 1, hi = 1000, k = 777
输出：570

提示：

• 1 <= lo <= hi <= 1000

• 1 <= k <= hi - lo + 1

算法1

记忆化搜索

• 1、枚举[lo,hi]区间的每个元素，由于某个数它到1的最短距离是固定的，因此搜索过的元素用哈希表对它进行记录步数，可以让重复的元素不用搜索

• 2、把[lo,hi]区间中的每个元素全部放在小根堆中，按权值进行排序（权值相同按坐标排序），找出第k小个

时间复杂度 $O(nlogn)$

Java 代码

class Solution {
    static Map<Integer,Integer> map = new HashMap<Integer,Integer>();
    static int INF = 0x3f3f3f3f;
    static int dfs(int x)
    {
        if(x == 1) return 0 ; 
        if(map.containsKey(x)) return map.get(x);
        int res = INF;
        if(x % 2 == 0 && x / 2 > 0) res = Math.min(res,dfs(x / 2) + 1);
        if(x % 2 != 0) res = Math.min(res,dfs(3 * x + 1) + 1);
        map.put(x,res);
        return res;
    }
    public int getKth(int lo, int hi, int k) {
        PriorityQueue<Pair> q = new PriorityQueue<Pair>();
        for(int i = lo;i <= hi;i ++)
        {
            int val = dfs(i);
            q.add(new Pair(i,val));
        }
        while(k -- > 1)
        {
            q.poll();
        }
        return q.peek().idx;
    }
}
class Pair implements Comparable<Pair>
{
    int idx,val;
    Pair(int idx,int val)
    {
        this.idx = idx;
        this.val = val;
    }
    @Override
    public int compareTo(Pair o) {
        // TODO 自动生成的方法存根
        return val == o.val ? Integer.compare(idx,o.idx) : Integer.compare(val, o.val);
    }
}

算法2

时间复杂度 $O(nlogn)$

最短路模型
题目类似和 Acwing1100 抓住那头牛 思路类似，是一个最短路模型
从1开始bfs找到所有数离1点的最短距离，由原来的

• 1、如果 x 是偶数，那么 x = x / 2，变成 x = 2 * x;

• 2、如果 x 是奇数，那么 x = 3 * x + 1，变成 x = (x - 1) / 3;

注意：2中必须在x - 1能整除3的前提下才有效

却有不相同之处，Acwing1100 抓住那头牛 必须用给定的范围的数的前提下才能找到，而这个题目，给定的区间的右端点最大值是1000，即使超过1000，却还能利用1000以外的数，可以知道只要数足够大，找到的最短路的极限值越逼近真实值(没证明)，下面代码中，当所有数的最大值取到10万的时候，答案有效

Java 代码

class Solution {
    static int N = 100010;
    static int[] dist = new int[N];
    static int INF = 0x3f3f3f3f;
    static void bfs(int x,int lo,int hi)
    {
        Queue<Integer> q = new LinkedList<Integer>();
        dist[x] = 0;
        q.add(x);
        while(!q.isEmpty())
        {
            int t = q.poll();
            if((t * 2) % 2 == 0 && 2 * t <= 100000 && dist[2 * t] == INF)
            {
                dist[2 * t] = dist[t] + 1;
                q.add(2 * t);
            }
            int temp = (t - 1) / 3;
            if((t - 1) % 3 == 0 && temp % 2 != 0 && temp >= 1 && dist[temp] == INF)
            {
                dist[temp] = dist[t] + 1;
                q.add(temp);
            }
        }
    }
    public int getKth(int lo, int hi, int k) {
        PriorityQueue<Pair> q = new PriorityQueue<Pair>();
        Arrays.fill(dist,INF);
        bfs(1,lo,hi);
        for(int i = lo;i <= hi;i ++) q.add(new Pair(i,dist[i]));
        while(k -- > 1)
        {
            Pair t = q.poll();
            System.out.println(t.idx + " " + t.val);
        }
        return q.peek().idx;
    }
}
class Pair implements Comparable<Pair>
{
    int idx,val;
    Pair(int idx,int val)
    {
        this.idx = idx;
        this.val = val;
    }
    @Override
    public int compareTo(Pair o) {
        // TODO 自动生成的方法存根
        return val == o.val ? Integer.compare(idx,o.idx) : Integer.compare(val, o.val);
    }

}