题目描述

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

样例

输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
10

DP

完全背包问题与背包问题题意的区别在于完全背包问题每件物品可以无限使用，但是背包问题只能使用一次

DP问题
1.化零为整
f[i,j]表示的是什么集合，是什么属性
所有只从前i个物品中选，总体积不超过j的所有方案的集合

2.状态计算(化整为零)
在完全背包问题中，每个物品可以选无限多个，所以这里的子集就不止划分为两个，而是划分为若干个
第i个物品选0个，1个，……，知道体积超过V
当选0个时，最大值就是在前i-1个中选，体积不超过j
不失一般性，考虑当第i个物体选择k个时，则最大值就是从前i-1个中选，且体积不超过j-kv[i]，再加上kw[i]

这样要做三重循环，会超时，进行推导化为二重
原式：f[i,j]=max(f[i-1,j],f[i-1,j-v[i]]+w[i],f[i-1,j-2v[i]]+2w[i],……)
f[i,j-v[i]]=max(f[i-1,j-v[i]],f[i-1,j-2v[i]]+2w[i],f[i-1,j-3v[i]]+3w[i],……)
上面两式加粗部分，上面比下面都多加了一个w[i]
所以原式可以优化为：
f[i,j]=max(f[i-1,j],f[i,j-v[i]]+w[i]);

而在空间上可以进一步优化，把f化为一维，则只需要在原代码的基础上进行修改，与原代码等价即可

C++ 代码

//非优化代码
#include<iostream>

using namespace std;

const int N=1010;

int n,m;
int f[N][N];
int v[N],w[N];

int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)  cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=m;j++){
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j>=v[i])  f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<<f[n][m];
    return 0;
}

//优化代码
#include<iostream>

using namespace std;

const int N=1010;

int n,m;
int f[N];
int v[N],w[N];

int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)  cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=v[i];j<=m;j++){
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<<f[m];
    return 0;
}