题目描述

你正在安装一个广告牌，并希望它高度最大。这块广告牌将有两个钢制支架，两边各一个。每个钢支架的高度必须相等。

你有一堆可以焊接在一起的钢筋。举个例子，如果钢筋的长度为 1、2 和 3，则可以将它们焊接在一起形成长度为 6 的支架。

返回广告牌的最大可能安装高度。如果没法安装广告牌，请返回 0。

样例

输入：[1,2,3,6]
输出：6
解释：我们有两个不相交的子集 {1,2,3} 和 {6}，它们具有相同的和 sum = 6。

输入：[1,2,3,4,5,6]
输出：10
解释：我们有两个不相交的子集 {2,3,5} 和 {4,6}，它们具有相同的和 sum = 10。

输入：[1,2]
输出：0
解释：没法安装广告牌，所以返回 0。

注意

• 0 <= rods.length <= 20
• 1 <= rods[i] <= 1000
• 钢筋的最大长度最多为 5000

算法

(动态规划) $O(n \cdot \sum {rods[i]})$

1. 状态 $f(i, j)$ 表示考虑了前 $i$ 个钢筋，搭建的两个钢制支架差距为 $j$ 时，较低的支架的最大高度是多少。
2. 初始化 $f(i, j) = -\infty$，$f(0, 0) = 0$。
3. 转移时，如果不用第 $i$ 个钢筋，则 $f(i, j) = \max (f(i, j), f(i - 1, j))$；如果使用了第 $i$ 个钢筋，设它的高度为 x，并将它放到了较高的支架上，则差距会扩大 x，即 $f(i, j + x) = \max (f(i, j + x), f(i - 1, j))$；若放到了较低的支架上，并且 x 小于等于差距 $j$，则 $f(i, j - x) = \max (f(i, j - x), f(i - 1, j) + x)$，否则 $f(i, x - j) = \max (f(i, x - j), f(i - 1, j) + j)$。
4. 最终答案为 $f(n, 0)$。

时间复杂度

• 总共 $n \cdot \sum {rods[i]}$ 个状态，每个状态有四种转移，故总时间复杂度为 $O(n \cdot \sum {rods[i]})$。

C++ 代码

class Solution {
public:
    int tallestBillboard(vector<int>& rods) {
        int n = rods.size(), sum = 0;
        vector<vector<int>> f(n + 1, vector<int>(5010, -5010));

        f[0][0] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            sum += rods[i - 1];
            for (int j = 0; j <= sum; j++) {
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j]);
                int x = rods[i - 1];
                if (j + x <= sum)
                    f[i][j + x] = max(f[i][j + x], f[i - 1][j]);
                if (x <= j)
                    f[i][j - x] = max(f[i][j - x], f[i - 1][j] + x);
                else
                    f[i][x - j] = max(f[i][x - j], f[i - 1][j] + j);
            }
        }

        return f[n][0];
    }
};