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题目描述

一列火车n节车厢，依次编号为$1,2,3,…,n$。

每节车厢有两种运动方式，进栈与出栈，问n节车厢出栈的可能排列方式有多少种。

输入格式
输入一个整数n，代表火车的车厢数。

输出格式
输出一个整数s表示n节车厢出栈的可能排列方式数量。

数据范围

$1 \le n \le 60000$

输入样例：

3

输出样例：

5

解题思路

题意分析

首先这道题目,就是上一道火车进出问题的统计方案数版本.
题目意思分析后:就是让我们求出按照题目所说的顺序进入栈,一共有多少种入栈顺序.

算法解析

首先看到$n=60000$,我们肯定要脱口而出WOC这道题目居然要用高精度,然后Python同学们丝毫不慌.
首先我们要简化或者说是,转化题目意思,我们可以将一个入栈顺序,改成+-号顺序问题.
+-号顺序问题,也就是对于一个入栈顺序,将其入栈操作, 视为+号,出栈操作,视为-号

1. 对于加号而言,我们相当于当前这个火车入栈.
2. 对于减号而言,我们相当于当前栈的栈顶火车出栈.

然后我们接着这道题目就转化为了统计+-号顺序问题.而最后的答案,我们称之为卡特兰数.

什么是卡特兰数

出栈次序
一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列? [5-6]
常规分析
首先，我们设f（n）=序列个数为n的出栈序列种数。（我们假定，最后出栈的元素为k，显然，k取不同值时的情况是相互独立的，也就是求出每种k最后出栈的情况数后可用加法原则，由于k最后出栈，因此，在k入栈之前，比k小的值均出栈，此处情况有f(k-1)种，而之后比k大的值入栈，且都在k之前出栈，因此有f(n-k)种方式，由于比k小和比k大的值入栈出栈情况是相互独立的，此处可用乘法原则，f(n-k)*f(k-1)种，求和便是Catalan递归式。ps.author.陶百百）
首次出空之前第一个出栈的序数k将1~n的序列分成两个序列，其中一个是1~k-1，序列个数为k-1，另外一个是k+1~n，序列个数是n-k。
此时，我们若把k视为确定一个序数，那么根据乘法原理，f（n）的问题就等价于——序列个数为k-1的出栈序列种数乘以序列个数为n - k的出栈序列种数，即选择k这个序数的f（n）=f（k-1）×f（n-k）。而k可以选1到n，所以再根据加法原理，将k取不同值的序列种数相加，得到的总序列种数为：f（n）=f（0）f（n-1）+f（1）f（n-2）+……+f（n-1）f（0）。
看到此处，再看看卡特兰数的递推式，答案不言而喻，即为f（n）=h（n）= C（2n,n）/（n+1）= c（2n,n）-c（2n,n-1）（n=0，1，2，……）。
最后，令f（0）=1，f（1）=1。
非常规分析
对于每一个数来说，必须进栈一次、出栈一次。我们把进栈设为状态‘1’，出栈设为状态‘0’。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。由于等待入栈的操作数按照1‥n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a≤b)，因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数，1的累计数不小于0的累计数的方案种数。
在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n),不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求（由左而右扫描，0的累计数大于1的累计数）的方案数即为所求。
不符合要求的数的特征是由左而右扫描时，必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数，此后的2(n-m)-1位上有n-m个 1和n-m-1个0。如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换，使之成为n-m个0和n-m-1个1，结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。
反过来，任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数，由于0的个数多2个，2n为偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数，即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。
因而不合要求的2n位数与n+1个0，n－1个1组成的排列一一对应。
显然，不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。由此得出输出序列的总数目=c(2n,n)-c(2n,n-1)=c(2n,n)/(n+1)=h(n)。

以上引用百度百科,原址

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fir(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define ll long long
const ll M=1e9;//M为压位的最大值
ll a[60004],l,sum[120004];
int n;
void Prime(int b,int f)
{
    for(int j=2;j*j<=b && b!=1;j++)//质因数分解.
        while(b%j==0)
        {
            sum[j]+=f;
            b/=j;
        }
    if(b) 
        sum[b]+=f;
}
void High(ll c)
{
    for(int i=1;i<=l;i++)
        a[i]*=c;
    for(int i=1;i<=l;i++)
        a[i+1]+=a[i]/M,a[i]%=M;//我们需要压缩位置快速处理
    while(a[l+1])
        ++l;
}
int main()
{
    a[1]=1,l=1;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)//对于两个组合数相除,我们这道题目必须使用快速的质因数分解法,去处理.
        Prime(n+i,1);
    for(int i=2;i<=n+1;i++)
        Prime(i,-1);
    for(int i=2;i<=2*n;i++)
        for(ll j=0;j<sum[i];++j) 
            High(i);//高精度
    printf("%lld",a[l]);
    for(ll i=l-1;i;--i) 
        printf("%09lld",a[i]);//输出
    return 0;
}