每年NOIP和CSP初赛必考题：进制转化>_<
复赛有时也需要写进制转化

深入了解进制原理和进制转化

1. 深入了解进制原理
2. 小数部分和整数部分的思考
3. 进制转化统一方法

深入了解进制原理

对于进制的认识，我们大多数都是从一句话开始的：
几进制就是满几进一

这句话太对了，正确性很高，但是实用性不足

后来呢，我们对进制的了解到了一个式子：
设：(…………a[5]a[4]a[3]a[2]a[1])n为一个n进制数
那么用十进制可以理解为：
……………………a[5]n^4 + a[4]n^3 + a[3]n^2 + a[2]n^1 + a[1]*n^0

这就是我们打开进制大门的钥匙，但是他还不够完善，他需要再全面一点：
如果有小数部分怎么办呢？

如：(1001.011)2 这个可以用上面的式子表示吗？
不可以，所以我们要对上面的式子进行拓展：
设：(…………a[5]a[4]a[3]a[2]a[1] . a[0]a[-1]a[-2]a[-3]………………)n为一个n进制数
那么用十进制可以理解为：
……………………a[5]n^4 + a[4]n^3 + a[3]n^2 + a[2]n^1 + a[1]n^0 + a[0]n^-1 + a[-1]n-2 + a[-2]n^-3 ……………………

现在，它足够完善了，这样它就可以适用全部的实数(甚至连小数做底数的！)，对于目前的我们够用了^_^

那，现在我们拿这个式子试一试(1001.011)2
12^3 + 12^0 + 12^-2 + 12^-3 = (9.375)10
而其实十进制数也可以这么表示，还是看(9.375)10：
910^0 + 310^-1 + 710^-2 + 510^-3

目前，这就是我们的万能式子了，我们接下来的研究都会在这个式子上开动

而这个式子，基本上也就是整个实数范围内所有进制转化的基本原理

整数部分和小数部分的思考

整数部分的转化，想必各位都已经轻车熟路，也就是我们经常说到的：除底数取余数法

但是你懂他的原理吗？

先举个例子：
(1000)10 转化 八进制

1000/8 =125 ………… 0
125/8= 15 ………… 5
15/8= 1 ………… 7
1/8= 0 ………… 1

得到的结果是(1750)8
好的，现在我们考虑：我们在除的时候，余数的意义和除数的意义是什么！
重点啊！！！！

首先第一步：1000/8 =125 ………… 0
我们表示为：1000=8125 + 01
到这里还没什么端倪

第二步：125/8= 15 ………… 5
我们又表示为：1000=8125 + 01= 8(815+5) + 01
注意，我们只是用815+5 来表示了125而已

第三步：15/8= 1 ………… 7
我们又表示为：1000=8125 + 01= 8(815+5) + 01 = 8(8(81+7)+5) + 01
我们也只是用81+7表示了15而已

第四步：1/8= 0 ………… 1
没什么特别的意义：8(8(8(80+1)+7)+5) + 0*1

但是，各位观众，准备好！
展开！！！
18^3 + 7 * 8^2 + 58^1 + 0*8^0
完美符合我们上面的式子！

其实在不断的除法和取余数的过程中
我们的本质就是：
把每一位数约束在8以下！
就像上面说的那样：
几进制就是满几进一
我们取得的余数，就是满足放在这一位的小于8的数！
而更大的内容，因为是除到的商，所以已经满足放在高位的条件了！！！

这就是我们用的进制转化的玄机

但是，小数呢？

不难想到，其实也是：除底数取余数法
但是，对于小数来说，他们的指数是负数，所以，底数应该看作：n^-1
而除以这个数，也就是乘以n！
那么不如换个叫法：乘底数取整数法!

先看看怎么运行的：
(0.11)10 -> 二进制

0.112 = 0.22 取0
0.222 = 0.44 取0
0.442 = 0.88 取0
0.882 = 1.76 取1
0.762 = 1.54 取1
0.542 = 1.08 取1
0.082 = 0.16 取0
0.162 = 0.32 取0
…………………………
如果我们保留六位小数的话，结果就是：(0.000111)2

其实本质上和整数部分是一样的，只不过这个是先取高位
就像：
0.222-1
(0.442^-1)2^-1
((0.882^-1)2^-1)2^-1
(((1+0.76)2^-1)2^-1)2^-1)2^-1
………………
本质上原理是一样的，多练习方法就Ok了！

进制转化通用方法

自己根据上面归纳吧

如果是两个都非10的进制转化，我建议先转成10进制

因为十进制下的加减乘除我们比较适应

Over~