例题

小魔女帕琪

设$N =\sum\limits_{i = 1}^{7}a_i$

只考虑第$7$次触发魔法的概率: $$7! \times \frac{a_1}{N} \times \frac{a_2}{N - 1} \times \frac{a_3}{N - 2} \times \frac{a_4}{N - 3} \times \frac{a_5}{N - 4} \times \frac{a_6}{N - 5} \times \frac{a_7}{N - 6}$$

在考虑第八次触发魔法时,可以等同看作第一次随便拿了七个的一个,然后再考虑后七个: $$\frac{a_1}{N} \times (\frac{a_1 - 1}{N - 1} \times \frac{a_2}{N - 2} \times \frac{a_3}{N - 3} \times \frac{a_4}{N - 4} \times \frac{a_5}{N - 5} \times \frac{a_6}{N - 6} \times \frac{a_7}{N - 7}) \times 7! +$$

$$\frac{a_2}{N} \times (\frac{a_1}{N - 1} \times \frac{a_2 - 1}{N - 2} \times \frac{a_3}{N - 3} \times \frac{a_4}{N - 4} \times \frac{a_5}{N - 5} \times \frac{a_6}{N - 6} \times \frac{a_7}{N - 7}) \times 7! +$$

$$\dots$$

$$\frac{a_7}{N} \times (\frac{a_1}{N - 1} \times \frac{a_2}{N - 2} \times \frac{a_3}{N - 3} \times \frac{a_4}{N - 4} \times \frac{a_5}{N - 5} \times \frac{a_6}{N - 6} \times \frac{a_7 - 1}{N - 7}) \times 7!$$

即为 $$7! \times \frac {a_1 \times a_2\times a_3 \times a_4\times a_5\times a_6\times a_7\times (a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 - 7)}{N \times (N - 1) \times (N - 2) \times (N - 3) \times (N - 4) \times (N - 5) \times (N - 6) \times (N - 7)}$$

即为 $$7! \times \frac{a_1}{N} \times \frac{a_2}{N - 1} \times \frac{a_3}{N - 2} \times \frac{a_4}{N - 3} \times \frac{a_5}{N - 4} \times \frac{a_6}{N - 5} \times \frac{a_7}{N - 6}$$

所以我们得到结论,第$8$次触发魔法的概率和第$7$次相同

又递推可知,从第$7$次开始,后面的$N - 6$触发魔法的概率都和第七次的相同

得出 $$res = 7! \times \frac {a_1 \times a_2\times a_3 \times a_4\times a_5\times a_6\times a_7}{N \times (N - 1) \times (N - 2) \times (N - 3) \times (N - 4) \times (N - 5)}$$