01背包

题目

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

传送门

分析

例题中已知条件有第i个物品的体积vi，价值wi，以及背包的总容量V。

设DP状态f[i][j]为在只能放前i个物品的情况下，体积为j的背包所能达到的最大总价值。
考虑转移。假设当前已经处理好了前i-1个物品的所有状态，那么对于第i个物品，当其不
放入背包时，背包的剩余容量不变，背包中物品的总价值也不变，故这种情况的最大价值为f[i-1][j] ；当其放入背包时，背包的剩余容量会减小v[i]，背包中物品的总价值会增大w[i]，故这种情况的最大价值为
f[i-1][j-v[i]]+w[i]。

由此可以得出状态转移方程：
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i])

由于对f[i]有影响的只有f[i-1]，可以去掉第一维，直接用f[j]来表示处理到当前物品时背包容量为j 的最大价值，得出以下方程：
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i])

注意

枚举容量的时候 j的顺序是逆序。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int v[N],w[N];
int dp[N];
int n,m;
int main()
{
    cin >> n>>m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin>>v[i]>>w[i];

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j=m;j>=v[i];j--)
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
    cout << dp[m]<<endl;
    return 0;
}