Spfa求最短路

https://www.acwing.com/problem/content/853/

St数组在这里的意义跟之前的不同，之前表示是否已经找到最短路的状态，而SPFA中表示是否在队列中。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n, m;
int e[N], h[N], ne[N], w[N], idx, dist[N], st[N];

void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

void spfa() {
    queue<int> q;
    q.push(1);
    st[1] = 1;

    while (q.size()) {
        int t = q.front(); q.pop();
        st[t] = 0;

        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
            int j = e[i];

            if (dist[j] > dist[t] + w[i]) {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                if (!st[j]) {
                    q.push(j);
                    st[j] = 1;
                }
            }
        }
    }
    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) cout << "impossible\n";
    else cout << dist[n] << endl;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    memset(h, -1, sizeof(h));
    memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));
    dist[1] = 0;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c);
    }
    spfa();
}

1. SPFA是对Bellman-Ford的优化：
2. Bellman-Ford用两重循环有很多无效循环，而SPFA只会通过dist变小过的节点去更新别的节点的dist。

3. 也就是把更新过dist的节点入队，然后把这些节点邻接的点的dist更新一遍。

4. 检查终点是否可达：

5. 最后检查if (dist[n] == 0x3f3f3f3f)就行。
6. 虽然有负权边，但不用if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2)这样检查。
7. 因为如果起点到不了终点，那么就算存在终点邻接的节点，权值为负，这个节点也不会入队（因为它跟起点不连通），dist不会被更新，所以终点为0x3f3f3f3f也不会被减去2。

Spfa找负环

https://acwing.com/problem/content/854/

大体上与SPFA找最短路的代码一样。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
const int N = 2010, M = 10010;
int h[N],e[M],ne[M],w[M],idx,dist[N],cnt[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

bool spfa() {
    queue<int> q;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        q.push(i);
        st[i] = 1;
    }

    while(q.size()) {
        int t = q.front();
        q.pop();
        st[t] = 0;

        for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if(dist[j] > dist[t] + w[i]) {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                cnt[j] = cnt[t] + 1;
                if(cnt[j] >= n) {
                    return 1;
                }
                if(!st[j]) {
                    st[j] = 1;
                    q.push(j);
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    memset(h, -1, sizeof h);
    for(int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c);
    }
    if(spfa()) cout << "Yes" << endl;
    else cout << "No" << endl;
}

1. 增加cnt数组记录松弛次数：
2. 加一个cnt数组，用于记录这个节点被松弛了多少次（也就是dist被更新了几次）。
3. 如果图中没有负环，一个节点的cnt最多是n - 1（因为一共n个点，其他点都跟他有边就会是n - 1）。

4. 但是如果有负环，一旦SPFA来到负环，就会一直在这里转圈（因为负环转一圈，dist就会变少，永远会在负环这里更新），所以负环上的节点会无限地入队，dist会无限更新，cnt会无限增加，直到cnt >= n了，就说明存在负环。

5. dist数组的初始化：

6. 这里的dist数组不需要初始化成0x3f。

7. 因为这个算法不需要找最短路，只需要判断是否存在负环。所以所有的正权边对找负环没有影响，他们的cnt没有用，只有碰到负环的时候，cnt才会不断增加，直到>= n。

8. 初始时将所有节点入队：

9. SPFA最开始要把所有的节点都入队，因为负环可能跟起点不连通，所以干脆直接都入队。
10. 因此，找负环的时间复杂度相对较高。