在 $x$ 处取 $dx$ 的宽窄条，可视为无限长均匀带电直线，电荷密度为 $λ=σdx$ ,
则在 $p$ 处产生的场强大小为：
$$dE=\frac{λ}{2πε_{0}x} $$
$$E=\int\,dE=\int_d^{d+l} \frac{σ}{2πε_{0}x}dx=\frac{σ}{2πε_{0}}\ln\left(\frac{d+l}{d}\right)$$

方向向左

小红在二维平面上有$n$
要解决这个问题，我们需要找到给定正整数 ( n ) 时，集合 ( S = {i \oplus j \mid 1 \leq i, j \leq n} ) 的最小缺失非负整数（mex）。

分析步骤

1. 理解 XOR 的性质:
2. XOR 运算 ( i \oplus j ) 的结果范围在 ( 0 ) 到 ( 2^{\lceil \log_2(n) \rceil +1} - 1 ) 之间。

3. 对于任意 ( i )，都有 ( i \oplus i = 0 )，所以 ( 0 ) 总是在集合 ( S ) 中。

4. 确定 mex 的模式:

5. 对于 ( n = 1 ) 和 ( n = 2 )，集合 ( S ) 为：
   • ( n = 1 ): ( S = {0} )，所以 ( \text{mex}(S) = 1 )。
   • ( n = 2 ): ( S = {0, 3} )，所以 ( \text{mex}(S) = 1 )。

6. 对于 ( n \geq 3 )，mex 的结果遵循以下模式：

   • 当 ( n ) 达到或超过某个 ( 2^k + 1 ) 时，mex 会跳到下一个 ( 2^{k+1} )。
   • 具体来说：
   • 如果 ( n ) 小于 ( 2^k + 1 )，则 ( \text{mex}(S) = 2^k )。
   • 如果 ( n ) 大于或等于 ( 2^k + 1 )，则 ( \text{mex}(S) = 2^{k+1} )。

7. 确定具体的计算步骤:

8. 步骤 1: 对于每个测试用例，读入 ( n )。
9. 步骤 2: 如果 ( n \leq 2 )，则输出 ( 1 )。
10. 步骤 3: 否则，找到最大的 ( k ) 使得 ( 2^k \leq n )（即 ( k = \lfloor \log_2(n) \rfloor )）。
11. 步骤 4: 检查 ( n ) 是否大于或等于 ( 2^k + 1 )：
    • 如果是，则 ( \text{mex}(S) = 2^{k+1} )。
    • 否则，( \text{mex}(S) = 2^k )。

实现代码（以 Python 为例）

import math

def compute_mex(n):
    if n <= 2:
        return 1
    m = n.bit_length() - 1  # floor(log2(n))
    power_m = 1 << m  # 2^m
    if n >= power_m + 1:
        return 1 << (m + 1)  # 2^(m+1)
    else:
        return power_m  # 2^m

t = int(input())
for _ in range(t):
    n = int(input())
    print(compute_mex(n))

解释

• n.bit_length() - 1: 计算 ( \lfloor \log_2(n) \rfloor )，即找到 ( m ) 使得 ( 2^m \leq n < 2^{m+1} )。
• 1 << m: 计算 ( 2^m )。
• 根据 ( n ) 是否大于或等于 ( 2^m + 1 )，决定输出 ( 2^m ) 还是 ( 2^{m+1} )。
• 对于 ( n \leq 2 )，直接返回 ( 1 )。

示例

考虑几个示例来验证：

• 输入:
  5 1 2 3 4 5

• 输出:
  1 1 4 4 8

• 解释:

• ( n = 1 ) 和 ( n = 2 ) 时，mex 都是 ( 1 )。
• ( n = 3 ) 和 ( n = 4 ) 时，mex 是 ( 4 )。
• ( n = 5 ) 时，mex 跳到 ( 8 )。

这样，我们可以高效地计算出每个测试用例的 mex 值，即使 ( n ) 的范围很大（( 1 \leq n \leq 10^{18} )）。
这段代码实现了二叉树的中序遍历（In-Order Traversal），使用了非递归的方法，通过一个栈来辅助遍历过程。遍历过程中，每访问一个节点时，会调用传入的Visit函数来处理节点的数据。

让我们逐行详细解析这段代码，理解其工作原理和各个部分的作用。

函数签名

Status InOrderTraverse(BiTree T, Status(*Visit)(TElemType e))

• Status：函数的返回类型，通常是一个枚举类型，用于表示操作的结果（例如成功或失败）。
• InOrderTraverse：函数名称，表示中序遍历。
• BiTree T：参数，表示要遍历的二叉树的根节点。
• Status(*Visit)(TElemType e)：函数指针参数，指向一个函数，该函数接受一个TElemType类型的参数，并返回一个Status类型的值。这个函数用于处理遍历过程中访问到的每个节点的数据。

函数实现

{
    InitStack(S);
    Push(S, T);
    while(!StackEmpty(S))
    {
        while(GetTop(S, p) && p)
            Push(S, p->lchild);
        Pop(S, p);
        if(!StackEmpty(S))
        {
            Pop(S, p);
            if(!Visit(p->data)) return ERROR;
            Push(S, p->rchild);
        }
    }
}

1. 初始化栈

InitStack(S);
Push(S, T);

• InitStack(S)：初始化一个栈S，用于辅助遍历过程。栈用于存储待访问的节点。
• Push(S, T)：将二叉树的根节点T压入栈中，作为遍历的起点。

2. 外层循环：遍历栈中的节点

while(!StackEmpty(S))
{
    // 内层循环和后续操作
}

• while(!StackEmpty(S))：只要栈不为空，就继续执行遍历。这保证了所有节点都能被访问到。

3. 内层循环：遍历左子树

while(GetTop(S, p) && p)
    Push(S, p->lchild);

• GetTop(S, p)：获取栈顶元素并赋值给指针p，但不弹出栈顶元素。
• && p：检查当前节点p是否为非空。
• Push(S, p->lchild)：将当前节点的左子节点压入栈中。

作用：不断向左子树深入，将所有左子节点压入栈中，直到遇到没有左子节点的节点。

4. 弹出栈顶节点

Pop(S, p);

• Pop(S, p)：弹出栈顶元素，并将其赋值给指针p。此时p指向的是最左下的节点。

5. 检查栈是否为空并进行处理

if(!StackEmpty(S))
{
    Pop(S, p);
    if(!Visit(p->data)) return ERROR;
    Push(S, p->rchild);
}

• if(!StackEmpty(S))：检查栈是否为空，确保还有节点需要处理。

• Pop(S, p)：再次弹出栈顶元素，赋值给p。此时p是当前访问的节点。

• if(!Visit(p->data)) return ERROR;：调用传入的Visit函数处理当前节点的数据。如果Visit函数返回失败状态（即非真），则立即返回ERROR，终止遍历。

• Push(S, p->rchild)：将当前节点的右子节点压入栈中，以便在之后访问右子树。

6. 函数结束

函数在完成所有节点的遍历后，会自动结束。如果在遍历过程中没有遇到错误，函数可能会返回一个表示成功的状态（例如OK），尽管这在代码中没有明确体现，建议在函数末尾添加一个成功返回。

代码优化与改进建议

1. 初始化栈和变量声明：
2. 代码中使用了栈S和指针p，但未显示其声明和初始化。应确保在使用前正确声明和初始化这些变量。

c Status InOrderTraverse(BiTree T, Status(*Visit)(TElemType e)) { SqStack S; // 假设栈类型为SqStack BiTree p; InitStack(S); Push(S, T); // ...其余代码 }

1. 处理空树的情况：
2. 如果传入的树T为空，应直接返回，例如：

c if (T == NULL) return OK; // 或其他适当的状态

1. 函数返回值：
2. 当前代码在成功完成遍历后没有返回任何值，可能导致未定义行为。应在函数末尾添加一个成功的返回值。

c return OK;

1. 避免重复弹出栈：
2. 代码中在内层循环后和if(!StackEmpty(S))条件内都进行了Pop(S, p)操作，这可能导致栈元素被弹出两次。应检查逻辑是否正确，确保每个节点只被弹出一次。

可能的修正：

c while(!StackEmpty(S)) { while(GetTop(S, p) && p) { Push(S, p->lchild); } Pop(S, p); // 弹出最左下的节点 if(p) { if(!Visit(p->data)) return ERROR; Push(S, p->rchild); } }

中序遍历的工作原理

中序遍历按照左子树 -> 根节点 -> 右子树的顺序访问二叉树的所有节点。具体步骤如下：

1. 访问左子树：从根节点开始，尽可能深入左子树，直到遇到没有左子节点的节点。
2. 访问根节点：处理当前节点的数据（调用Visit函数）。
3. 访问右子树：转向当前节点的右子树，重复上述步骤。

通过使用栈，代码模拟了递归的行为，实现了中序遍历的非递归版本。

代码示例

为了更好地理解，让我们结合一个具体的二叉树示例和完整的代码示例进行说明。

假设的二叉树结构

typedef struct BiTNode {
    TElemType data;
    struct BiTNode *lchild, *rchild;
} BiTNode, *BiTree;

完整的中序遍历函数

typedef enum { ERROR, OK } Status;

// 假设栈的实现
typedef struct {
    BiTree data[MAX_SIZE];
    int top;
} SqStack;

void InitStack(SqStack &S) {
    S.top = -1;
}

bool Push(SqStack &S, BiTree node) {
    if (S.top >= MAX_SIZE - 1) return false;
    S.data[++S.top] = node;
    return true;
}

bool Pop(SqStack &S, BiTree &node) {
    if (S.top == -1) return false;
    node = S.data[S.top--];
    return true;
}

bool StackEmpty(SqStack S) {
    return S.top == -1;
}

bool GetTop(SqStack S, BiTree &node) {
    if (StackEmpty(S)) return false;
    node = S.data[S.top];
    return true;
}

Status InOrderTraverse(BiTree T, Status(*Visit)(TElemType e)) {
    if (T == NULL) return OK; // 处理空树
    SqStack S;
    BiTree p = T;
    InitStack(S);

    while (p != NULL || !StackEmpty(S)) {
        // 一直向左走，将路径上的节点压入栈
        while (p != NULL) {
            Push(S, p);
            p = p->lchild;
        }

        // 弹出栈顶节点
        Pop(S, p);
        // 访问节点
        if (!Visit(p->data)) return ERROR;
        // 转向右子树
        p = p->rchild;
    }

    return OK;
}

解释

1. 栈的实现：
2. 使用顺序栈（数组）来存储节点指针。

3. 提供初始化、压栈、弹栈、检查栈空和获取栈顶元素的函数。

4. 中序遍历函数：

5. 空树检查：如果传入的树为空，直接返回OK。
6. 使用指针p：指向当前处理的节点，初始时指向根节点T。

7. 外层while循环：继续遍历，直到所有节点都被访问。

   • 内层while循环：不断深入左子树，将路径上的节点压入栈中。
   • 弹出栈顶节点：当无法再深入左子树时，弹出栈顶节点，并访问其数据。
   • 访问后转向右子树：将指针p指向当前节点的右子树，继续遍历。

8. 访问节点：

9. 调用Visit(p->data)处理当前节点的数据。
10. 如果Visit返回ERROR，则终止遍历并返回错误状态。

总结

这段代码通过使用栈实现了二叉树的中序遍历，避免了递归带来的函数调用开销。通过传入一个Visit函数指针，遍历过程可以灵活地处理每个节点的数据，例如打印节点值、统计节点数等。理解这段代码需要对栈的操作和二叉树的中序遍历有一定的掌握，建议结合具体的例子和调试工具进一步学习和验证。