n2的前n项和公式推导
12+22+32+42+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6
已知公式:a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
可以得到:
23−13=(2−1)(22+2×1+12)
33−23=(3−2)(32+3×2+22)
43−33=(4−3)(42+4×3+32)
⋯⋯
n3−(n−1)3=(n−(n−1))(n2+n×(n−1)+(n−1)2)
左边加左边,右边加右边得到:
n3−13=(22+32+42+⋯+n2)+(1×2+2×3+3×4+⋯+(n−1)×n)+(12+22+32+⋯+(n−1)2)
左右两边同时加上12+n2
记12+22+32+42+⋯+n2=Sn得到:
n3+n2=2Sn+(1×2+2×3+3×4+⋯+(n−1)×n) ①
对于1×2+2×3+3×4+⋯+(n−1)×n有:为下矩阵中红色部分的和
(1234⋯n1234⋯n1234⋯n1234⋯n⋮⋮⋮⋮⋱⋮1234⋯n)
矩阵的上半部分=红色部分+(1+2+3+⋯+n)
∵
(1 + 2 + 3 + \cdots + n)可以通过前等差数列的前n项和求出为:\frac{n(1 + n)}{2}
\therefore红色部分 = S_n - \frac{n(1 + n)}{2}
\therefore1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + \cdots + (n-1) \times n = S_n - \frac{n(1 + n)}{2}
带入①得:
n^3 + n^2 = 3S_n - \frac{n(1 + n)}{2}
化简得:
S_n = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6}
因式分解最终得到:
\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}