隔板法

隔板法主要针对的是相同元素的分配问题。

基本问题是：如果把 $n$ 个相同的元素分给 $m$ 个不同的对象，每个对象至少有一个，问有多少种不同的分法。基本公式为：$C_{n-1}^{m-1}$。

隔板法一共有三种类型：

• 标准型
• 多分型
• 少分型

后两种都是化为标准型来解决。

标准型

需要同时满足的三个要求：

1. 被分配的的 $n$ 个元素无差别
2. $n$ 个元素分给 $m$ 个不同的对象
3. 每个对象至少分一个元素

例题

把 $6$ 本相同的书放进 $4$ 个不同的抽屉，每个抽屉至少放一本，则共有多少种方法？

$C_{6-1}^{4-1}=C_{5}^{3}=10$

多分型

需要同时满足的三个要求：

1. 被分配的的 $n$ 个元素无差别
2. $n$ 个元素分给 $m$ 个不同的对象
3. 每个对象至少分 $k$ 个元素 ($k>1$)

例题

某单位订阅了 $30$ 份学习资料发放给三个部门，每个部门至少发放 $9$ 份材料，则共有多少种不同的发放方法？

解法：先给每个部门发放 $8$ 份，余下 $6$ 份每个部门至少发一份，$C_{6-1}^{3-1}$

少分型

需要同时满足的三个要求：

1. 被分配的的 $n$ 个元素无差别
2. $n$ 个元素分给 $m$ 个不同的对象
3. 每个对象至少分 $0$ 个元素

例题

将 $20$ 个完全相同的小球放进 $3$ 个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，则共有多少种不同的发放方法？

解法：每个盒子先借一个球，那么现在共有 $23$ 个球，此时用标准隔板法即可，即 $C_{23-1}^{3-1}$