WIKI

积性函数

如果函数 $f$ : $N → R$ ，满足对于任意一对互质的正整数 $p, q$，都有 $f (pq) = f (p)f (q)$，则称

$f$ 为积性函数。

积性函数的例子：
$$\begin{align} 1(n) &= 1\\ id(n) &= n\\ ε(n) &= [n = 1]\\ ϕ(n) &= 1..n 中与 n 互质的数的数量\\ d(n) &= n 的正因子的数量\\ \end{align}$$

$如果 f (n), g(n) 是积性函数，则 h(n) = f (n)g(n) 也是积性函数$

设 f 是积性函数
$$\begin{align} n &= p_1 ^{α_1} p_2 ^{α_2} …p_k ^{α_k}\\ f (n) &= f (p_1 ^{α_1})f (p_2 ^{α_2})…f (p_k ^{α_k} ) \end{align}$$