背包问题中 体积至多是 j ，恰好是 j ，至少是 j 的初始化问题的研究

作者： 作者的头像   小呆呆 ,  2020-09-23 11:15:58 ,  所有人可见 ,  阅读 7808

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814

这是一篇本人做背包问题题目时的一些感悟，文章较长，如果有内容或者排版问题，欢迎大家建议指正！

学背包问题的过程

  • 1、一开始学背包问题时遇到的大多数的状态表示是：从前i个物品中选，且总体积不超过j的问题。
  • 2、慢慢地在提高课中，就有出现状态表示是：从前i个物品中选，且总体积恰好是j的问题。例如 AcWing 1023. 买书 ，求的是恰好是j的总方案数问题。
  • 3、同时还出现了状态表示是：从前i个物品中选，且总体积至少是j的问题。例如 AcWing 1020. 潜水员 ，求的是总体积至少是j的最小价值

可以观察到，他们的分析方法以及状态转移方程都是一样的，唯独是初始化有很大的不同

求方案数初始化总结
二维情况
1、体积至多j，f[0][i] = 1, 0 <= i <= m，其余是0
2、体积恰好j，f[0][0] = 1, 其余是0
3、体积至少j，f[0][0] = 1，其余是0

一维情况
1、体积至多j，f[i] = 1, 0 <= i <= m，
2、体积恰好j，f[0] = 1, 其余是0
3、体积至少j，f[0] = 1，其余是0

求最大值最小值初始化总结
二维情况
1、体积至多j，f[i,k] = 0，0 <= i <= n, 0 <= k <= m（只会求价值的最大值）
2、体积恰好j，
$\quad$$\quad$当求价值的最小值：f[0][0] = 0, 其余是INF
$\quad$$\quad$当求价值的最大值：f[0][0] = 0, 其余是-INF
3、体积至少j，f[0][0] = 0，其余是INF（只会求价值的最小值）

一维情况
1、体积至多j，f[i] = 0, 0 <= i <= m（只会求价值的最大值）
2、体积恰好j，
$\quad$$\quad$当求价值的最小值：f[0] = 0, 其余是INF
$\quad$$\quad$当求价值的最大值：f[0] = 0, 其余是-INF
3、体积至少j，f[0] = 0，其余是INF（只会求价值的最小值）

求方案数问题

1、从前i个物品中选，且总体积不超过j的总方案数，初始化是f[0][i] = 1, 0 <= i <= m，其余是0

01背包
例子：给你一堆物品，每个物品有一定的体积，每个物品只能选一个，求总体积不超过m的方案数

输入
4 5
2 2 3 7
输出
7

二维代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0;i <= m;i ++) f[0][i] = 1;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v;
        cin >> v;
        for(int j = 0;j <= m;j ++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= v) f[i][j] += f[i - 1][j - v];
        }
    }

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

一维代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0;i <= m;i ++) f[i] = 1;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v;
        cin >> v;
        for(int j = m;j >= v;j --)
        {
            f[j] = f[j] + f[j - v];
        }
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

完全背包
例子：给你一堆物品，每个物品有一定的体积，每个物品可以选无数多个，求总体积不超过m的方案数

输入
3 5
2 3 7
输出
7

二维代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0;i <= m;i ++) f[0][i] = 1;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v;
        cin >> v;
        for(int j = 0;j <= m;j ++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= v) f[i][j] += f[i][j - v];
        }
    }

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

一维代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0;i <= m;i ++) f[i] = 1;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v;
        cin >> v;
        for(int j = v;j <= m;j ++)
        {
            f[j] = f[j] + f[j - v];
        }
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

2、从前i个物品中选，且总体积恰好是j的总方案数，初始化是f[0][0] = 1, 其余是0

01背包
例子：给你一堆物品，每个物品有一定的体积，每个物品只能选一个，求总体积恰好是m的方案数

输入
4 5
2 2 3 7
输出
2

二维代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    f[0][0] = 1;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v;
        cin >> v;
        for(int j = 0;j <= m;j ++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= v) f[i][j] += f[i - 1][j - v];
        }
    }

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

一维代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    f[0] = 1;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v;
        cin >> v;
        for(int j = m;j >= v;j --)
        {
            f[j] = f[j] + f[j - v];
        }
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

完全背包
例子：给你一堆物品，每个物品有一定的体积，每个物品可以选无数多个，求总体积恰好是m的方案数

输入
3 5
2 3 7
输出
1

二维代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    f[0][0] = 1;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v;
        cin >> v;
        for(int j = 0;j <= m;j ++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= v) f[i][j] += f[i][j - v];
        }
    }

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

一维代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    f[0] = 1;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v;
        cin >> v;
        for(int j = v;j <= m;j ++)
        {
            f[j] = f[j] + f[j - v];
        }
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

3、从前i个物品中选，且总体积至少是j的总方案数，初始化是f[0][0] = 1, 其余是0（至少的情况，j需要从0枚举到m，或者从m枚举到0）

01背包
例子：给你一堆物品，每个物品有一定的体积，每个物品只能选一个，求总体积至少是m的方案数

输入
3 5
2 3 7
输出
11

二维代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    f[0][0] = 1;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v;
        cin >> v;
        for(int j = 0;j <= m;j ++)//即使物品体积比j大，j - v < 0，也能选，等价于f[i - 1][0]
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][max(0,j - v)];
        }
    }
    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

一维代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    f[0] = 1;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v;
        cin >> v;
        for(int j = m;j >= 0;j --)//即使物品体积比j大，j - v < 0，也能选，等价于f[0]
        {
            f[j] = f[j] + f[max(0,j - v)];
        }
    }
    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

完全背包
例子：给你一堆物品，每个物品有一定的体积，每个物品可以选无数多个，求总体积至少是m的方案数

答案是无穷多种方案数

求最大值最小值问题

1、从前i个物品中选，且总体积不超过j的最大价值，初始化是f[i,k] = 0，0 <= i <= n, 0 <= k <= m（只会求价值的最大值）

01背包问题

例子：给你一堆物品，每个物品有一定的体积和对应的价值，每个物品只能选一个，求总体积不超过m的最大价值

输入
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出
8

二维代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = 0;j <= m;j ++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= v) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v] + w);
        }
    }

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

一维代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = m;j >= v;j --)
        {
            f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
        }
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

2、从前i个物品中选，且总体积恰好是j，

01背包问题

(1)求价值最小值：初始化f[0][0] = 0, 其余是INF

例子：给你一堆物品，每个物品有一定的体积和对应的价值，每个物品只能选一个，求总体积恰好是j的最小价值

输入
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出
7

二维代码

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 110, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    memset(f, INF, sizeof f);
    f[0][0] = 0;

    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = 0;j <= m;j ++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= v) f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - v] + w);
        }
    }

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

一维代码

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 110, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    memset(f, INF, sizeof f);
    f[0] = 0;

    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = m;j >= v;j --)
        {
            f[j] = min(f[j], f[j - v] + w);
        }
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

(2)求价值最大值：初始化f[0][0] = 0, 其余是-INF

例子：给你一堆物品，每个物品有一定的体积和对应的价值，每个物品只能选一个，求总体积恰好是j的最大价值

输入
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出
8

二维代码

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 110, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    memset(f, -INF, sizeof f);
    f[0][0] = 0;

    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = 0;j <= m;j ++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= v) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v] + w);
        }
    }

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

一维代码

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 110, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    memset(f, -INF, sizeof f);
    f[0] = 0;

    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = m;j >= v;j --)
        {
            f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
        }
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

完全背包问题

(1)求价值最小值：初始化f[0][0] = 0, 其余是INF

例子：给你一堆物品，每个物品有一定的体积和对应的价值，每个物品可以选无数多个，求总体积恰好是j的最小价值

输入
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出
7

二维代码

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 110, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    memset(f, INF, sizeof f);
    f[0][0] = 0;

    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = 0;j <= m;j ++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= v) f[i][j] = min(f[i][j], f[i][j - v] + w);
        }
    }

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

一维代码

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 110, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    memset(f, INF, sizeof f);
    f[0] = 0;

    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = v;j <= m;j ++)
        {
            f[j] = min(f[j], f[j - v] + w);
        }
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

(2)求价值最大值：初始化f[0][0] = 0, 其余是-INF

例子：给你一堆物品，每个物品有一定的体积和对应的价值，每个物品可以选无数多个，求总体积恰好是j的最大价值

输入
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出
10

二维代码

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 110, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    memset(f, -INF, sizeof f);
    f[0][0] = 0;

    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = 0;j <= m;j ++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= v) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v] + w);
        }
    }

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

一维代码

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 110, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    memset(f, -INF, sizeof f);
    f[0] = 0;

    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = v;j <= m;j ++)
        {
            f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
        }
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

3、从前i个物品中选，且总体积至少是j，初始化是f[0][0] = 0, 其余是INF（只会求价值的最小值）

例子：给你一堆物品，每个物品有一定的体积和对应的价值，每个物品可以选无数多个，求总体积至少是j的最小价值（AcWing 1020. 潜水员 ）

输入
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出
10

二维代码

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 110, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    memset(f, INF, sizeof f);
    f[0][0] = 0;

    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = 0;j <= m;j ++)
        {
            f[i][j] = min(f[i - 1][j], f[i][max(0, j - v)] + w);//即使物品体积比j大，j - v < 0，也能选，等价于f[i - 1][0]
        }
    }

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

一维代码

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 110, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    memset(f, INF, sizeof f);
    f[0] = 0;

    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = m;j >= 0;j --)
        {
            f[j] = min(f[j], f[max(0, j - v)] + w);//即使物品体积比j大，j - v < 0，也能选，等价于f[0]
        }
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

61 评论

用户头像
lrs_0   9个月前      2    踩      回复

关键是为啥要这样初始化呢？

用户头像
烟台陈坤   2023-01-23 17:23      2    踩      回复

ORZ膜拜

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帅   2021-05-09 16:27      2    踩      回复

最后一个潜水员问题， 应该是01 背包 不是完全背包吧。 其他地方总结的太6了。

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cxposition   2023-08-21 19:27      1    踩      回复

有个小小的请求，就是能不能补充一下初始化的具体含义qwq

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吃不月半的fcano   2023-04-27 21:04      1    踩      回复

佬 Orz

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Hydrogennn   2023-01-14 14:40      1    踩      回复

太顶了老哥，orz

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艾特玖   7个月前         踩      回复

第一种感觉有点问题，就是体积不超过j的总方案数有多少。
假设所有物品的体积都超过j，那么最终方案数应该是0
比如
1 5
6
没有小于5的体积可以装进背包，结果应该输出0,但是这样初始化输出的是1

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艾特玖   7个月前      1    踩      回复

好，原来啥都不选也算一种方案，草率了><

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byrain   7个月前         踩      回复

orz佬太强了，完美解决问题

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明朗编程   10个月前         踩      回复

写的挺好
输入
3 5
2 3 7
输出
11
这里是不是错了？

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零分下一个   2023-07-11 09:59         踩      回复

%%%

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太空矮人   2023-06-27 15:55         踩      回复

请问一下求方案数那里，我发现j从1开始循环有时候就会wa，为啥一定要是从0开始呀

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Slay3r丶   2023-05-23 10:43         踩      回复

帅！呆神

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我真的菜死了   2023-05-09 11:18         踩      回复

神中神！！！

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Susanna   2023-04-06 19:49         踩      回复

受益匪浅

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顽石之拳   2023-04-06 19:34         踩      回复

-INF可以直接用0代替吗(感觉在状态转移的时候0就够了）

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今天也是刷题的一天   2023-03-18 19:16         踩      回复

神中神

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2001f   2023-03-06 18:53         踩      回复

总结的很好！

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文刀   2023-03-05 13:47         踩      回复

请问涉及到多重背包的也是适用吗？参考题目：https://leetcode.cn/problems/number-of-ways-to-earn-points/submissions/409236260/

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hjing001   2023-02-02 13:05         踩      回复

好高产，谢谢柯南哥

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想个昵称好难abcd   2023-01-31 22:33         踩      回复

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