在C++中，遇到超级大的整数运算，unsigned long long 都存不下，怎么办，用高精度！！！

用高精度可以进行大整数

1. 加
2. 减
3. 乘
4. 除
5. 模（不讲）

大整数存储

在计算大整数之前，我们得先存储大整数，怎么存储呢？
我们可以用数组存大整数
存的时候倒着存，因为这样进位更方便

高精度加法

思路

第一步：按照上面的方法存储大整数（以后第一步都是这个，不说了）。

第二步：用t当做上一位的进位，初始设为0，C为答案数组，回忆小学加法竖式，一位一位的加

1. 先把$A_i+B_i+上一个t$存到$t$中。
2. $t$的个位是$C_i$。
3. $t$变成他的十位。
4. 如果最后还有进位就加上。

最后一步：然后从末尾开始倒着输出C数组（以后最后一步也都是这个，也不说了）。

模版：

先打存储大整数和输出的代码（以后不想打）：

string a, b;
vector<int> A, B;
cin >> a >> b;
for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');
for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i--) B.push_back(b[i] - '0');
auto C = add(A, B);
for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) cout << C[i];

正式开始高精加法：

vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B){
    vector<int> C;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < max(A.size(), B.size()); i++){
        if (i < A.size()) t += A[i];
        if (i < B.size()) t += B[i];
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    if (t) C.push_back(1);
    return C;
}

高精度减法

思路：

第一步：判断A与B的大小，有好多种判断方式，代码不想打。

第二步：用C当做答案数组，t当做借位按照小学减法竖式，一位一位地减。

1. 如果$A_i-B_i-$上一个$t$小于零，$A_i$加十，$t$最后要加一，$C_i$就是$A_i-B_i-$上一个$t$。
2. 最后去掉前导零。

模版：

vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B){
    vector<int> C;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < max(A.size(), B.size()); i++){
        t = A[i] - t;
        if (i < B.size()) t -= B[i];
        C.push_back((t + 10) % 10);
        if (t < 0) t = 1;
        else t = 0;
    }
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}

高精度乘法

注意：这里只研究高精乘低精

思路：

第一步：用t当做上一位的进位，初始设为0，C为答案数组，回忆小学乘法竖式，一位一位的乘

1. 先把$A_i*b+上一个t$存到$t$中。
2. $t$的个位是$C_i$。
3. $t$变成他的进位。
4. 如果最后还有进位就加上。

模版：

我们可以看到，高精乘跟高精加思路差不多，所以代码也差不多，甚至还更简单

vector<int> mul(vector<int> &A, int b){
    vector<int> C;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size() || t; i++){
        if (i < A.size()) t += A[i] * b;
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    return C;
}

高精度除法

注意：只研究高精除以低精

思路：

第一步：回忆小学除法算式，用r做上一位的余数，从最高位除

1. 先用$r*10+A_i$除以$b$，商是$C_i$，余数为$r$。

模版：

vector<int> div(vector<int> A, int b, int &r){
    vector<int> C;
    r = 0;
    for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i--){ // 因为除法要从高位除，所以要倒着循环。
        r = r * 10 + A[i];
        C.push_back(r / b);
        r %= b;
    }
    reverse(C.begin(), C.end()); // 因为最后要反着输出，所以这里要翻转一下。
    while (C.back() == 0 && C.size() > 1) C.pop_back();
    return C;
}