1 高精度

高精度一般用来解决大整数的问题
一般考相加、相减、高精度乘以低精度……
高精加和高精减位数一般 $10^6$ 位
高精乘的话一般是第一个因数的长度 $10^6$,第二个因数是 $10^6$
还有一个高精除，也是大数除以小数，求商和余数
是一种较为复杂的模拟

1 高精度加法

(1) 存储

我们需要把大整数的每一位存到数组里面去
一般从个位开始存
因为两个整数相加可能会进位，需要在高位上补一个数，在数组末尾补上一个数是最容易的

(2)运算

是一个模拟人工加法的过程
从个位开始加起，如果大于 $10$ 的话就进位，否则不进位
进位就是 $a$ 数组当前的位数+ $b$ 数组当前的位数 % $10$
所以就是 $a_i$ + $b_i$ +进位
如果这一位不存在直接看成 $0$
代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//vector自带size
const int N=1e6+10;
vector<int>add(vector<int> &A,vector<int> &B){//返回结果
    vector<int>C;//答案
    int t=0;//进位
    for(int i=0;i<A.size()||i<B.size();i++){
        if(i<A.size())t+=A[i];
        if(i<B.size())t+=B[i];
        C.push_back(t%10);
        t/=10;
    }
    if(t)C.push_back(1);//如果最高位还有进位就要补上1
    return C;
}
int main(){
    string a,b;//因为太长了，所以用字符串读进来
    vector<int>A,B;//存到vector里面
    cin>>a>>b;
    //倒着遍历
    for(int i=a.size()-1;i>=0;i--)A.push_back(a[i]-'0');//将数字存到数组里面
    for(int i=b.size()-1;i>=0;i--)B.push_back(b[i]-'0');//将数字存进来
    auto C=add(A,B);//存一下结果
    for(int i=C.size()-1;i>=0;i--)cout<<C[i];//倒着输出
    return 0;
}

2 高精度减法

存储是一样的
考虑退位
如果该位减该位大于等于 $0$ 那么就直接减
否则 $a_i$ - $b_i$ +$10$
还需要看一下上一位有没有借位
$t$ 表示借位，如果 $t$ 等于 $1$,表示借过
如果 $t$ 等于 $0$ 的话表示没借过
每次都要减去一个t
$a$ 数组要保证必须是大于 $b$ 数组的
如果 $a$ 小于 $b$ 的话就算 $b$ 减 $a$,加上一个负号就可以了
有一种前导 $0$ 的问题，需要去掉前导 $0$
代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//vector自带size
const int N=1e6+10;
bool cmp(vector<int> &A,vector<int> &B){
    if(A.size()!=B.size())return A.size()>B.size();
    for(int i=A.size()-1;i>=0;i--){
        if(A[i]!=B[i])
            return A[i]>B[i];
    }
    return true;
}
vector<int>sub(vector<int> &A,vector<int> &B){//返回结果
    vector<int>C;//答案
    for(int i=0,t=0;i<A.size();i++){
        t=A[i]-t;
        if(i<B.size())t-=B[i];
        C.push_back((t+10)%10);
        if(t<0)t=1;
        else t=0;
    }
    while(C.size()>1&&C.back()==0){//删除前导0
        C.pop_back();
    }
    return C;
}
int main(){
    string a,b;//因为太长了，所以用字符串读进来
    vector<int>A,B;//存到vector里面
    cin>>a>>b;
    //倒着遍历
    for(int i=a.size()-1;i>=0;i--)A.push_back(a[i]-'0');//将数字存到数组里面
    for(int i=b.size()-1;i>=0;i--)B.push_back(b[i]-'0');//将数字存进来
    if(cmp(A,B)){
        auto C=sub(A,B);
        for(int i=C.size()-1;i>=0;i--)cout<<C[i];//倒着输出
    }else{
        auto C=sub(B,A);
        cout<<'-';
        for(int i=C.size()-1;i>=0;i--)cout<<C[i];//倒着输出
    }
    return 0;
}

3 高精度乘法

高精乘就是大数乘小数
如一个非常大的数乘小数
得数就是a[i]*b[i]%10
到下一位我们还需要加上一个进位，进位是a*b/10
我们需要把 $b$ 看作一个整体
所以呢综合来讲，就是(a[i]*b/10)+(a[i]*b%10)
举个例子:
$123$ * $12$
先算a[0]*12,a[0]等于 $3$,所以结果等于 3*12%10等于 $6$
进位就等于3*12/10等于 $3$
下一位的结果就是2*12等于2*12%10等于 $4$,再加上前一位的进位 $3$,所以为 $7$
代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<int>mul(vector<int>&A,int b){
    vector<int>C;
    int t=0;//进位
    for(int i=0;i<A.size()||t;i++){//如果i没有循环完或进位没出理完就继续做
        if(i<A.size())t+=A[i]*b;//A没遍历完就可以乘
        C.push_back(t%10);//取出个位
        t/=10;//进位
    }
    while(C.size()>1&&C.back()==0)C.pop_back();
    return C;
}
int main(){
    string a;
    int b;
    cin>>a>>b;
    vector<int>A;
    for(int i=a.size()-1;i>=0;i--){
        A.push_back(a[i]-'0');
    }
    auto C=mul(A,b);
    for(int i=C.size()-1;i>=0;i--)cout<<C[i];
    return 0;
}

4 高精度除法