题目描述

哥尼斯堡是位于普累格河上的一座城市，它包含两个岛屿及连接它们的七座桥，如下图所示。

可否走过这样的七座桥，而且每桥只走过一次？瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler，1707—1783)最终解决了这个问题，并由此创立了拓扑学。

这个问题如今可以描述为判断欧拉回路是否存在的问题。欧拉回路是指不令笔离开纸面，可画过图中每条边仅一次，且可以回到起点的一条回路。现给定一个无向图，问是否存在欧拉回路？

输入格式:

输入第一行给出两个正整数，分别是节点数N (1≤N≤1000)和边数M；随后的M行对应M条边，每行给出一对正整数，分别是该条边直接连通的两个节点的编号（节点从1到N编号）。

输出格式:

若欧拉回路存在则输出1，否则输出0。

输入样例1:

6 10
1 2
2 3
3 1
4 5
5 6
6 4
1 4
1 6
3 4
3 6

输出样例1:

1

输入样例2:

5 8
1 2
1 3
2 3
2 4
2 5
5 3
5 4
3 4

输出样例2:

0

分析

判断一个图是否有欧拉回路，其充分必要条件为不存在度为奇数的点。
判断欧拉路径则是度为奇数的点个数为0或2。
本题是欧拉回路，只需要判断是否有度为奇数的点即可。

同时此题还需判断图是否是连通状态的，所以需要用一个并查集来进行判断。

C++ 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n,m;
int du[N];
int fa[N];

int find(int x)
{
    if(x==fa[x]) return x;
    return fa[x]=find(fa[x]);
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int a,b;
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i; //并查集初始化，各自为父

    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        du[a]++;
        du[b]++;
        int faa=find(a),fab=find(b); //找到a,b两点的父点
        if(faa!=fab) fa[fab]=faa;   //若父点不同，则把b的父点设为a的父点
    }

    int f=find(1);
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(f!=find(i)) //如果有点的父点与1号点不同，则说明图并不连通，此时直接结束判断即可
        {
            puts("0");
            return 0;
        }
    }
    int flag=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(du[i]%2)  //如果有度为奇数的点，则说明图中不存在欧拉回路，结束判断
        {
            flag=1;
            break;
        }
    }
    if(flag) cout<<"0";
    else cout<<"1";
    return 0;
 }