前言

（都初三了还是这么菜啊啊啊啊）

最近在学复变，里面有很多代数拓扑的内容（但是xyz不会，），于是补了一些拓扑的基本概念。

同伦的定义

定义一个连续映射$H:A\times[0,1]\to B$（$A,B$为两个拓扑空间），若满足：

定义两个映射$f,g$，$\forall x\in A,H(x,0)=f,H(x,1)=g$，则称$H$为一个同伦映射，$f$和$g$同伦。

理解同伦

看到上面的定义，可能你是懵逼的，尽管你已经了解了笛卡尔积，了解了拓扑，但是你可能不会立刻理解同伦这个概念。

为了理解同伦，我的复变教材是通过幅角函数引入的，但是我认为没有必要。

我们把二元函数$H$的第二个变量设为$t$，把它看作是时间变量，那么可以把同伦理解为“$f$函数连续形变成$g$函数”

注意这里的“连续”，为什么要连续呢？举个现实中的例子，假如你从清华路“移动”到解放大路，你肯定不可能瞬移过去，不管你是坐车还是走路，肯定是一步一步地移动的，这就是连续的理解。

有了这种理解，我们再去考虑同伦，首先考虑一个简单的例子，在复平面上有两个曲线$f,g$，那么若它们同伦，它们应该是首尾相同的两条曲线，其次它们之间没有洞，这样$f$曲线连续形变就可能变成$g$曲线，也就说明它们同伦。

同伦是等价类

若两个映射间存在同伦映射，则称这两个映射同伦。

可以验证，同伦是一种等价关系，通过这种关系，我们就可以进行复平面上曲线的分类，从而推出

咕咕咕