将 $n$ 个球放入 $k$ 个盒子里，求方案数。（不妨设 $n \geqslant k$)

1. 球不带标号，盒子带标号，要求盒子不空

插板法，总共有 $n-1$ 个空隙，插入 $k-1$ 块板，方案数为 $\binom{n-1}{k-1}$

2. 球不带标号，盒子带标号，允许盒子为空

由于球不带标号，所以可以先给每个盒子一个球，分完之后，再让每个盒子的球数减去 $1$，方案数为 $\binom{n+k-1}{k-1}$

3. 球带标号，盒子不带标号，要求盒子不空

等价于将 $n$ 个数划分为 $k$ 个非空集合，也就是第二类斯特林数，方案数为 $n \brace k$

具体见：第二类斯特林数

4. 球带标号，盒子不带标号，允许盒子为空

可以枚举几个盒子是空的集合，方案数为 $\sum\limits_{i = 0}^k {n \brace i}$，也称贝尔数

5. 球不带标号，盒子不带标号，允许盒子为空

记 f(i, j) 表示吧 $i$ 个球放入 $j$ 个盒子里的方案数

转移方程：

当 $i < j$ 时，最多只能放 $i$ 个盒子，则 $f(i, j) = f(i, i)$

当 $i \geqslant j$ 时，

• 如果没有空盒，则问题转化为把 $i-j$ 个球放入 $j$ 个盒子，即 $f(i-j, j)$
• 如果有空盒，则问题转化为把 $i$ 个球放入 $j-1$ 个盒子，即 $f(i, j-1)$

则 $f(i, j) = f(i-j, j) + f(i, j-1)$

边界条件：$f(0, i) = 1, i \in [1, k]$

答案为 $f(n, k)$

6. 球不带标号，盒子不带标号，要求盒子不空

在上一题的基础上改成 $f(n-k, k)$

7. 球带标号，盒子带标号，允许盒子为空

每个球有 $k$ 种放法，任意两个球之间相互独立，方案数为 $k^n$

8. 球带标号，盒子带标号，要求盒子不空

一种做法是容斥原理，方案数为 $\sum\limits_{i=0}^{k-1} (-1)^i \binom{k}{i} (k-i)^n$
另一种做法是第二类斯特林数，方案数为 ${n \brace k} \cdot k!$，因为盒子带标号，所以需要排序

具体见：盒子与球