前言
微分是一种很有用的工具,在初高中数学中有很多应用。
在阅读本篇文章前,你应该已经学会了导数和求导的法则(否则还学什么微分)。
什么是微分
很多人会把微分和导数混为一谈,事实上,它们是两种完全不一样的东西。
回顾导数
我们学习导数的时候,曾经学过导数的计算公式
f′(x)=f(x+Δx)−f(x)Δx
这个公式的含义是什么呢?它代表了一个函数在x取得一点点增量时,与f(x)的增量的比值。
通俗地说,就是x变化一点点,y自然也会变化一点点,此时y的变化和x的变化的比值就是导数。
如果写成一个简单的公式,就是f′(x)=dydx
微分?微商?
那么微分又是什么呢?
如果我们说导数是dydx,那么微分就是dy。
形式化地,微分就是x取得一点增量后,y取得增量(注意:这里没有比值了)
如果你足够聪明,你应该已经看出了导数和微分的关系,没错,微分dy=f′(x)dx
那么我们也就能够推出导数和微分之间的各种关系,比如
dy=f′(x)dx f′(x)=dydx dx=dyf′(x)
可以看出,导数其实就是微分和dx的比值,所以我们也管导数叫做“微商”
微分的表示
微分的表示很弱智,就是在函数前面放个d
如f(x)的微分就是df(x),y的微分就是dy
这个d可以理解为一个运算符号,就像是在f(x)上加一个′就代表f(x)的导数f′(x),我们不需要特殊记忆。
没啥用的微分表
如何计算微分呢?
很多大学课本上都会给出一大堆函数的微分,在我看来,那根本没必要,通过dy=f′(x)dx这一个公式,就能知道所有函数的微分。
举个例子,求f(x)=x2的微分。
我们知道,x2的导数是2x,所以x2的微分就是2xdx
再放几个微分。
- f(x)=ex
f′(x)=ex
df(x)=exdx - f(x)=lnx
f′(x)=1x
df(x)=dxx - f(x)=sinx
f′(x)=cosx
df(x)=cosxdx
……
微分有啥用
微分的应用有很多种,最主要的应用就是近似。
为什么微分能近似
我们回到导数的定义
f′(x)=lim
注意,\Delta x是趋近于0的,那么假如\Delta x是一个很小的量时,效果是什么样的呢?
可以证明,当\Delta x很小的时候(比如0.01),取得的结果和导数差不多,而且\Delta x越小,误差就越小。
这就是微分能够去近似的原因。
微分近似第一弹
我们设一个数\Delta x(注意这里我们把\Delta x看成是一个数,而不是无穷小)
那么由导数的定义,我们有
f(x+\Delta x)-f(x)\sim f’(x)\Delta x
那么这个公式有什么用呢?
如下面这道例题:
在半径为1cm的铁球表面镀上一层厚度为0.01cm的铜,计算大约需要多少克的铜(铜的密度为8.9g/cm^3)
我们先写出暴力计算所需要的公式(如果真这么算计算量特别大)
m_\text{铜}=\rho v=8.9\cdot\frac{3}{4}\pi [(1+0.01)^3-1^3]
我们发现,这里面的(1+0.01)^3-1^3很像前面的那个微分公式诶。
所以我们设f(x)=x^3,那么(1+0.01)^3 -1^3就可以写出f(1+0.01)-f(1)
通过刚才的那个微分公式,我们可以得到
f(1+0.01)-f(1)\sim f’(1)\cdot0.01
我们知道f’(x)=3x^2,所以
f(1+0.01)-f(1)\approx 3\cdot1^2\cdot0.01=0.03
故m_\text{铜}=8.9\cdot\frac{3}{4}\pi\cdot0.03\approx1.12g
通过这道例题,我们发现,微分可以处理一些关于增量的近似问题,因此在物理中有很大的应用。
微分近似第二弹
f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f’(x_0)\Delta x
这个公式有什么用呢?它可以计算在x_0点附近的函数值,举个例子。
求\sin 46^{\circ}
我们知道\sin 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2},但是\sin 46^\circ却很难计算,于是我们可以通过上面的微分公式。
因为
f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f’(x_0)\Delta x
所以
\sin(45^\circ+1^\circ)\approx \sin(45^\circ)+\cos(45^\circ)\cdot1^\circ
用弧度制表示,就变成了
\sin 46^\circ\approx \frac{\sqrt2}{2}+ \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\pi}{180^\circ}\approx0.719
微分还能求误差?
咕咕咕
话说,这个高中要用?数学要用微分?要用线性代数?
如果想用,初中也能用上
比如我们初三现在正在学三角函数,有一种题型是给网格上的三角形,让算三角函数值,用叉积除以模长就非常方便
如果你用叉积去算,会扣分吧
这种题型大多都是选择或者填空,小题什么快用什么
《关于我们班一同学上学带考研数学手册,上面还讲微积分这件事》
直接报我身份号吧