洛必达法则是用来求一个函数极限的法则。
洛必达法则的引入
求
lim
分子的极限是\sin 0=0,分母的极限是0,得出了\frac{0}{0}的结果,怎么办捏?
我们当然可以用夹逼定理等很多种方法求得答案,但是用洛必达法则比较简单。
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{(\sin x){}’ }{x’}=\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1}=1
你可能已经看明白了,就是分数上下同时求导后的极限,和原函数的极限是相同的。
洛必达法则真的这么神奇吗?什么函数都能这么求吗?
未定式
0/0型和\infty/\infty型
刚刚的函数
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}
上下都是无穷小,所以我们称它为\frac{0}{0}型未定式,这种情况一般可以用洛必达法则来求。
还有一种情况是\frac{ \infty}{ \infty}型,也就是上下求完极限都是无穷大,这种情况也可以用洛必达法则来求。
如
\lim_{x \to \infty} \frac{3x+5}{2x+1}
我们使用洛必达法则,得到
\lim_{x \to \infty} \frac{3x+5}{2x+1}=\lim_{x \to \infty} \frac{3}{2}=\frac{3}{2}
\frac{0}{0}型和\frac{\infty}{\infty}型是洛必达法则最基础的两个形式,其他形式的极限大多可以化为这两种形式。
其他形式的未定式
刚刚说过,其他的未定式大多可以可以化为\frac{0}{0}型和\frac{\infty}{\infty}型,下面举几个例子。
如
\lim_{x\to 0} x\ln x
左边的极限是0,右边的极限是-\infty,所以这是一个0\cdot \infty型的未定式。
那么它怎么用洛必达法则呢?
我们可以把他变成
\lim_{x \to 0}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}
那么它就变成了一个\frac{\infty}{\infty}型未定式。
于是我们就可以使用洛必达法则
\lim_{x \to 0}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x \to 0}-x=0
这样就求得了它的极限。
类似的,像0^0,\infty^{\infty},\infty-\infty等类型的未定式大多可以化为\frac{0}{0}型或\frac{\infty}{\infty}型。
洛必达法则使用条件
洛必达法则是要求极限,所以你首先得保证上下求导后得出的函数有极限。
另外,既然要求导求极限,那么这个函数的上下肯定得有导数。
上面说的这两条在一般的题目中都是符合的,所以不用特殊记。
另外只有能化为\frac{0}{0}型或\frac{\infty}{\infty}型的函数才能用洛必达法则,这一点经常错,如
\lim_{x \to 0} \frac{e^x-\cos x}{x
^2}
先用一次洛必达,得到
\lim_{x \to 0} \frac{e^x+\sin x}{2x}
很多人做到这一步后可能会再用一次洛必达,得到
\lim_{x \to 0} \frac{e^x+\cos x}{2}=1
但是1不是这个函数的极限,哪里算错了呢?
原来,第二次洛必达得到的函数\frac{e^x+\sin x}{2x}已经不是\frac{0}{0}型或\frac{\infty}{\infty}型未定式了,所以不能用洛必达法则。
所以,我们在多次洛必达的过程中,一定要检查函数的未定式形式,如果无法化为\frac{0}{0}型或\frac{\infty}{\infty}型,就不能再算下去了!
习题
1.求
\lim_{x \to 0} \frac{x-\sin x}{x^2\sin x}
观察到\sin x \sim x,所以原式可化为
\lim_{x \to 0} \frac{x-\sin x}{x^3}
这个函数是\frac{0}{0}型未定式,可以用洛必达法则。
\lim_{x \to 0} \frac{x-\sin x}{x^3} =\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{3x^2}
我们发现,这个式子还是\frac{0}{0}型未定式,所以继续洛。
得到
\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{3x^2}
=\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x}
=1
2.求
\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}
观察到函数为\frac{\infty}{\infty}型未定式,可以用洛必达法则。
得
\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}
=\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1}=\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}=0
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