证明

$$kx \% ky = k(x \% y), k, x, y \in \mathbb{Z}, k,y \ne 0$$

设

$$\begin{eqnarray} r_1 &= kx \% ky \tag{1} \\\ r_2 &= x \% y \tag{2} \\\ kx &= k_1 ky + r_1 \tag{3} \\\ x &= k_2 y + r_2 \tag{4} \end{eqnarray}$$

其中，$k_1, k_2 \in \mathbb{N}$。由 $(3)、(4)$ 式得

$$\begin{eqnarray} \frac{kx}{ky} &= k_1 + \frac{r_1}{ky} \tag{5} \\\ \frac{x}{y} &= k_2 + \frac{r_2}{y} \tag{6} \end{eqnarray}$$

由于

$$\frac{kx}{ky} = \frac{x}{y} \tag{7}$$

两个数相等，其整数和小数部分必定对应相等。由 $(5)、(6)、(7)$ 式得

$$\begin{eqnarray} k_1 &= k_2 \\\ \frac{r_1}{ky} &= \frac{r_2}{y} \tag{8} \end{eqnarray}$$

由 $(8)$ 式得

$$r_1 = kr_2 \tag{9}$$

由 $(1)、(2)、(9)$ 式得

$$kx \% ky = k(x \% y)$$