Record
一个重要的字符串算法,这是第三次复习。
通过总结我认为之所以某个算法总是忘记,是因为大脑始终没有认可这种算法的逻辑(也就是脑回路)。
本篇主要讲解从KMP的应用场景,再到算法知识,以及例题。
Main
现有两个字符串 A,B,求出 A 在 B 中出现的次数。
范围:字符串长度均 ≤1e6+10。
其实简单来说,KMP就是优化了双重循环,解决字符串的匹配问题。
所以个人总结一下,遇到字符串的题目,如果dp用不了就考虑哈希和KMP
数学上从特殊到一般,那么这里我们从暴力到优化。
以 A=abab,B=abababaaabb 为例,一般做法是双重循环,时间复杂度 O(n2)。
我们来看这个具体是怎么实现的。
每次枚举一个初始点,然后一位一位的判断是否相同。如果相同,就继续判断直到;如果不同,就退出并且选择下一个点作为初始点。
首先,如果说判断到第 k 位发现不对,不是彻底无法挽救的。如果说这个子串从 1..k−1 的前缀和后缀都没有相同的,比如说这种 abcfd,那么判断过的位也不用再判断了,因为往后移一位就都错开了,所以就一直往后推,判断起点是否相同,相同就开始一位一位继续判断。如果说是这种 abcabc 那就好办了,因为我们可以进行如下的操作。
abcabcbdde
abcabcd
这个时候再第七位发现有问题了,是不是全部跳过呢?当然不是。
abc|abcbdde
|abcabcd
再从相同的前缀开始就可以了。只不过显然这个情况下还是匹配不了。
for(int i = 1, j = 0; i <= m; i ++ )
{
while(j && b[i] != a[j + 1]) j = ne[j];
if(b[i] == a[j + 1]) j ++ ;
if(j == n)
{
cout << i - n << ' ';
j = ne[j];
}
}
通过这样的思路,只需要每次遍历一遍母串,时间复杂度 O(n)。
在匹配之前,得要算一下子串中每一位对应的最长的前缀和后缀,记录下前缀的最后一位。
for(int i = 2, j = 0; i <= n; i ++ )
{
while(j && a[i] != a[j + 1]) j = ne[j];
if(a[i] == a[j + 1]) j ++ ;
ne[i] = j;
}
例题
利用ne数组的性质,马上就可以得到一个字符串最长的相同前缀和后缀。观察发现,存在循环节的字符串观察可知:
- 当第 i 位存在 i \mod{(i - ne_i)} = 0,那么他的循环节一定是 i - ne_i + 1 … i,个数是 i / (i - ne_i)。
这个自己打打草稿就出来了,不多说了。