原题链接:AcWing.4993/Luogu

这题出的非常好，你以为我下面要讲这个题了——对，我就是要讲这个题，但是不同于网上千篇一律的找规律，我这次会给出为什么是等差数列的简单证明。

（1）从简单开始

假设一个最简单的情况：整个序列中只有一个$F$。
$1.$若$F$在开头：
序列可表示为$F......$。
不妨设第二位为$B$。
序列可表示为$FB......$。
设后面的序列中的兴奋程度（或价值，下文中统一用兴奋程度）为$a$。
则总序列可能的兴奋程度为$a$或$a+1$。
$2.$若$F$在中间
若$F$两边的字符相同，不妨设为$B$。
则序列为：$......BFB.....$。
设左边序列兴奋程度为$a$，右边为$b$。
则兴奋程度可能为：$a+b$或$a+b+2$
否则，序列为：$.......BFE.....$，
设左边序列兴奋程度为$a$，右边为$b$。
兴奋程度为：$a+b+1$
$3.F$在结尾：同第$1$种。

总结结论：当$F$在开头或结尾时，公差为$1$，否则公差为$2$。

（2）数学归纳法

若有$(n-1)$个$F$时，若满足结论，则需证$n$个$F$时也相等。
若开头或结尾没有$F$，设原来的兴奋程度的可能值为$a,a+2,a+4,…,a+2k$。
将开头或结尾替换成$F$，则可能值的变换同简单情况，可能值为：$a,a+2,a+4,…,a+2k,a+1,a+3,…,a+2k+1$，即$a,a+1,a+2,a+3,…,a+2k+1$即公差为$1$的等差序列。

将中间一个非$F$的位置换成$F$，过程也差不多，读者自证不难。

综上，结论正确，证毕！！！