图论
最短路
朴素dijkstra
解决非负权图的单源最短路问题，适合稠密图，用邻接矩阵存储，时间复杂度o(n ^ 2)
算法思想
算法流程
- 初始时把其他点到起点1的距离赋值为INF，dist[1] = 0;
- 每次找到不在集合s中的点到起点1的最短距离的点t，把t加入到集合s中去
- 用t更新其他不在集合s中的点的距离
- 重复2,3步骤n - 1次
代码
int g[N][N]; // 存储每条边
int dist[N]; // 存储1号点到每个点的最短距离
bool st[N]; // 存储每个点的最短路是否已经确定
int dijkstra()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
for(int i = 0; i < n - 1; i ++)//迭代n - 1次就行
{
int t = -1;// 在还未确定最短路的点中，寻找距离最小的点
for(int j = 1; j <= n; j ++)
if(!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
t = j;
st[t] = true;//找到当前距离最小的点加到集合s中去
// 用t更新其他未在集合s中的点的距离，已经在集合s中的点的距离不会被更新，这样写代码更简洁
for(int j = 1; j <= n; j ++)
dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
}
if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
堆优化dijkstra
解决非负权图的单源最短路问题，适合稀疏图，用邻接表存储，时间复杂度o(mlogn)
代码
typedef pair<int, int> PII;
int n; // 点的数量
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 稀疏图用邻接表存储所有边
int dist[N]; // 存储所有点到1号点的距离
bool st[N]; // 存储每个点的最短距离是否已确定
void add(int a, int b, int c)//建用边权的图
{
e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}
// 求1号点到n号点的最短距离，如果不存在，则返回-1
int dijkstra()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII> > heap;//定义pair类型的小根堆，first表示dist， second表示节点编号
heap.push({0, 1});
while(heap.size())
{
auto t = heap.top();
heap.pop();
int ver = t.second, d = t.first;
if(st[ver]) continue;//去掉冗余的点，优化时间
st[ver] = true;
for(int i = h[ver]; ~i; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if(dist[j] > d + w[i])
{
dist[j] = d + w[i];
heap.push({dist[j], j});//同一个点可能会被多个点更新距离，多次进heap，所以heap中可能有冗余的点，
}
}
}
if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
Bellman-Ford
解决单源最短路问题，并且可以在负权图上得到正确答案。并能够判断负环的存在,。代码比较简单，但是效率很低，时间复杂度o(nm)
算法原理
Bellman-Ford运用了动态规划的思想（Bellman是动态规划的创始人）。时间复杂度是$O(VE)$
设$dp[i][j]$为起点$s$最多经过$i$个节点到达$j$的最短路径长度，$dp[i][j]$的初始值应被设为$\infty$。考虑状态转移：
$$ dp\left[i\right]\left[j \right]=min(dp[i][j],dp[i-1][v]+|\left< v,j\right>|) $$
方程可以优化为
$$
dp[j]=min(dp[j],dp[v]+|\left<v,j \right>|)
$$
因为即使$v$先被更新了也不会影响答案的正确性。
若图$G$中不存在负环，则任意两点的最短路径一定是简单路径。所以如果没有负环，则所有点会在$V-1$次循环后更新完毕，如果图中存在负环则可以继续被更新。由此可以判断负环的存在。
所以我们可以进行$V$轮循环，每次循环对每条边的终点节点进行更新。如果某一轮不存在被更新的节点则退出循环，不存在负环。如果成功进入了第$V$轮循环则存在负环。
算法流程
- 初始时把其他点到起点1的距离赋值为INF，dist[1] = 0;
- 迭代n - 1次，每次对所有m条边进行判断松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离
- 根据需要判断是否有负环
描述性证明
图的任意一条最短路径既不能包含负权回路，也不会包含正权回路，因此最短路径最多包含|v|-1条边
其次，从源点s可达的所有顶点如果 存在最短路径，则这些最短路径构成一个以s为根的最短路径树。Bellman-Ford算法的迭代松弛操作，实际上就是按顶点距离s的层次，逐层生成这棵最短路径树的过程。
在对每条边进行1遍松弛的时候，生成了从s出发，层次至多为1的那些树枝。也就是说，找到了与s至多有1条边相联的那些顶点的最短路径；对每条边进行第2遍松弛的时候，生成了第2层次的树枝，就是说找到了经过2条边相连的那些顶点的最短路径……。因为最短路径最多只包含|v|-1条边，所以，只需要循环|v|-1 次。
每实施一次松弛操作，最短路径树上就会有一层顶点达到其最短距离，此后这层顶点的最短距离值就会一直保持不变，不再受后续松弛操作的影响。（但是，每次还要判断松弛，这里浪费了大量的时间，这就是Bellman-Ford算法效率底下的原因，也正是SPFA优化的所在）。
判断负环
图的任意一条最短路径既不能包含负权回路，也不会包含正权回路，因此最短路径最多包含n - 1条边，所以在第n - 1次松弛后如果还能更新，则说明图中有负环，无法得出结果，否则就成功完成
Bellman-Ford算法是否一定要循环n-1次么
未必，其实只要在某次循环过程中，考虑每条边后，都没能改变当前源点到所有顶点的最短路径长度，就可以退出循环了
代码
int n, m; // n表示点数，m表示边数
int dist[N]; // dist[x]存储1到x的最短路距离
struct Edge // 边，a表示出点，b表示入点，w表示边的权重
{
int a, b, w;
}edges[M];
// 求1到n的最短路距离，如果无法从1走到n，则返回-1。
int bellman_ford()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
for(int i = 0; i < n - 1; i ++)
{
memcpy(backup, dist, sizeof dist);// 保证在第i次循环是是从源点最多经过i+1条边的最短距离，避免串连。
for(int j = 0; j < m; j ++)
{
Edge e = edges[j];
dist[e.b] = min(dist[e.b], backup[e.a] + e.w);
}
}
bool flag = true;// //判断是否含有负权回路
for(int i = 0; i < m; i ++)
{
Edge e = edges[j];
if(dist[e.b] > dist[e.a] + e.w)
{
flag = false;
break;
}
}
if(dist[n] >= 0x3f3f3f3f / 2) return -1;//不是==，因为即是n不可达，由于有负权边，dist也有可能被更新
return dist[n];
}
SPFA
SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)可以看成是队列优化的Bellman-Ford。时间复杂度平均情况下 O(m)，最坏情况下 O(nm), n表示点数，m表示边数
算法思想
核心思想是只有被松弛过的节点，才有可能更新邻接点。
算法流程
-
将源点s加入队列，初始化其他节点到源点s的距离=INF, dist[s] = 0
-
每次取出队列头节点，松弛相邻节点
- 如果该相邻节点能够被松弛
- 如果该邻接点不在队列中
- 如果该邻接点入队次数为n - 1，则存在负环，结束算法
- 否则将邻接点加入队列
- 否则继续循环
- 否则继续循环
spfa求最短路
给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。
请你求出1号点到n号点的最短距离，如果无法从1号点走到n号点，则输出impossible。
数据保证不存在负权回路。
代码
int n; // 总点数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边
int dist[N]; // 存储每个点到1号点的最短距离
bool st[N]; // 存储每个点是否在队列中
// 求1号点到n号点的最短路距离，如果从1号点无法走到n号点则返回-1
int spfa()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
queue<int> q;
q.push(1);
st[1] = true;
while (q.size())
{
auto t = q.front();
q.pop();
st[t] = false;
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i//只有从队列中取出被松弛过的点，才有可能更新其相邻节点
{
int j = e[i];
if (dist[j] > dist[t] + w[i])
{
dist[j] = dist[t] + w[i];
if (!st[j]) // 如果队列中已存在j，则不需要将j重复插入
{
q.push(j);//被松弛就加入队列
st[j] = true;
}
}
}
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
spfa判断负环
给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。
请你判断图中是否存在负权回路。
代码
int n; // 总点数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边
int dist[N], cnt[N]; // dist[x]存储起点到x的最短距离，cnt[x]存储起点到x的最短路中经过的点数，注意起点不一定是1
bool st[N]; // 存储每个点是否在队列中
// 如果存在负环，则返回true，否则返回false。
bool spfa()
{
// 不需要初始化dist数组,只要dist一样就行
// 原理：如果某条最短路径上有n个点（除了自己），那么加上自己之后一共有n+1个点，由抽屉原理一定有两个点相同，所以存在环。
queue<int> q;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )//负环可以从任意点开始，初始把所有点加到队列中去
{
q.push(i);
st[i] = true;
}
while (q.size())
{
auto t = q.front();
q.pop();
st[t] = false;
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])//只有被松弛过的点，才有可能更新其相邻节点
{
int j = e[i];
if (dist[j] > dist[t] + w[i])
{
dist[j] = dist[t] + w[i];
cnt[j] = cnt[t] + 1;
if (cnt[j] >= n) return true; // 如果从起点到x的最短路中包含至少n个点（不包括自己），则说明存在环
if (!st[j])//如果该节点在队列中就没必要重复加了
{
q.push(j);
st[j] = true;
}
}
}
}
return false;
}
Floyd
Floyd算法可以用来求解全局最短路径问题。即求出任意结点$v$,$w$的最短路长度。时间复杂度为$O(V^3)$。
算法原理
假设有向图$G$有$V$个点，Floyd算法采用的是动态规划的思想。假设$dp \left[ k \right]\left[ i \right]\left[ j \right],为从$$i$点到$j$点且只能经过$1 \sim k$中的点的最短路长度。那么$dp \left[ V \right]\left[ i \right]\left[ j \right]$就是$i$到$j$的全局最短路径答案了。那么首先$dp \left[ 0 \right]\left[ i \right]\left[ j \right]$即图中结点$i$到结点$j$的有向边的长度，如果不存在边那么应是无穷，因为他们不能直接不经过任何点就到达。考虑$dp \left[ k \right]\left[ i \right]\left[ j \right]$的转移，从结点$i$到结点$j$且只能经过$1 \sim k$中的点，有两种情况：
1.不经过$k$，那么这个情况的最小花费就是$dp \left[ k-1 \right]\left[ i \right]\left[ j \right]$
2.经过$k$，这个情况肯定是$i$走到$k$，然后$k$走到$j$，显然两个过程如果花费最小都不可能在中间经过$k$,所以这个情况的最小花费就是$dp[k-1][i][k]+dp[k-1][k][j]$
得出状态转移方程$dp \left[ k \right]\left[ i \right]\left[ j \right] =min(dp[k-1][i][j],dp[k-1][i][k]+dp[k-1][k][j])$
空间优化
我们发现$dp[i][j][k]$只与$dp[i-1][j][k]$有关，所以我们可以把空间从$V*V*V$优化到$2*V*V$,转移方程改写为
$dp \left[ k\%2 \right]\left[ i \right]\left[ j \right] =min(dp[(k\%2) \hat{}1][i][j],dp[(k\%2) \hat{}1][i][k]+dp[(k\%2) \hat{}1][k][j])$
其实还可以直接将状态转移方程改写为$dp\left[ i \right]\left[ j \right] =min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k][j])$,因为在第$k$个阶段更新$dp[i][j]$的时候，$dp[i][k]$和$dp[k][j]$虽然有可能已经被更新了，即不是$dp[k-1][i][k],dp[k-1][k][j]$，而是$dp[k][i][k],dp[k][k][j]$了，但是这对最终答案并不会产生影响。
代码
// 算法结束后，d[a][b]表示a到b的最短距离
void floyd()
{
for (int k = 1; k <= n; k ++ )
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}
最小生成树
无向图才有最小生成树
prim算法
Prim 算法是一种常见并且好写的最小生成树算法。
算法思想
该算法的基本思想是从任意一个结点开始，不断加点（而不是 Kruskal 算法的加边）。
具体来说，每次要选择距离最小的一个结点，以及用新的边更新其他结点的距离。
其实跟 Dijkstra 算法一样，每次找到距离最小的一个点，可以暴力找也可以用堆维护。
有点都已加入到S中
二叉堆： o((n + m)logn)
Fib 堆：
算法流程
S:当前已经在联通块中的所有点的集合
1.dist[i] = inf(初始时生成树可以从任意点作为起点)
2.for n 次
t<-S外离S最近的点
利用t更新S外点到S的距离
st[t] = true
n次迭代之后所有点都已加入到S中
联系：Dijkstra算法是更新到起始点的距离，Prim是更新到集合S的距离，注意dist的含义
代码
int n; // n表示点数
int g[N][N]; // 邻接矩阵，存储所有边
int dist[N]; // 存储其他点到当前最小生成树的距离
bool st[N]; // 存储每个点是否已经在生成树中
int prim()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;//假如从1开始
int res = 0;
for(int i = 0; i < n; i ++)
{
int t = -1;
for(int j = 1; j <= n; j ++)
if(!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dit[j]))
t = j;
if(dist[t] == INF) return INF;
res += dist[t];////要先加再更新，因为如果有自环的话，可能被加进来，而生成树是不允许有自环的
st[t] = true;
for(int j = 1; j <= n; j ++) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]//dist表示的是到连通块s的距离,注意与dijkstra的区别dist[j] + g[t][j]
}
return res;
}
Kruskal算法
Kruskal 算法是一种常见并且好写的最小生成树算法，由 Kruskal 发明。该算法的基本思想是从小到大加入边，是个贪心算法。
时间复杂度是 O(mlogm)，n 表示点数，m 表示边数，适合稀疏图
算法思想
思路很简单，为了造出一棵最小生成树，我们从最小边权的边开始，按边权从小到大依次加入，如果某次加边产生了环，就扔掉这条边，直到加入了 n - 1条边，即形成了一棵树。
代码
int n, m; // n是点数，m是边数
int p[N]; // 并查集的父节点数组
struct Edge // 存储边
{
int a, b, w;
bool operator< (const Edge &W)const
{
return w < W.w;
}
}edges[M];
int find(int x) // 并查集核心操作
{
if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
int kruskal()
{
sort(edges, edges + m);
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i; // 初始化并查集
int res = 0, cnt = 0;
for (int i = 0; i < m; i ++ )
{
int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;
a = find(a), b = find(b);
if (a != b) // 如果两个连通块不连通，则将这两个连通块合并
{
p[a] = b;
res += w;
cnt ++ ;
}
if(cnt >= n - 1) break;
}
if (cnt < n - 1) return INF;
return res;
}
