二项式系数的应用与和式简单处理

化简:$\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}i$

解：
$$ \begin{aligned} \sum_{i=0}^n\binom{n}{i}i \ &=\sum_{i=0}^n\frac{n}{i}\binom{n-1}{i-1}i\\\ &=n\times \sum_{i=0}^{n-1}\binom{n}{i}\\\ &=n\times2^{n-1} \end{aligned} $$

化简$\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i\binom{n}{j}$

（交换求和顺序）

解：
$$ \begin{aligned} \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{i}\left(\begin{array}{l} n \\\ j \end{array}\right) &=\sum_{j=0}^{n}\left(\begin{array}{c} n \\\ j \end{array}\right) \sum_{i=j}^{n} 1 \\\ &=\sum_{j=0}^{n}\left(\begin{array}{c} n \\\ j \end{array}\right)(n-j+1) \\\ &=(n+1) \sum_{j=0}^{n}\left(\begin{array}{c} n \\\ j \end{array}\right)-\sum_{j=0}^{n} j\left(\begin{array}{c} n \\\ j \end{array}\right) \\\ &=(n+1) 2^{n}-n 2^{n-1} \\\ &=(n+2) 2^{n-1} \end{aligned} $$

化简：$\sum_{i=k}^n\binom{i}{k}$

解：将其看成$\sum_{i=k}^n(1+x)^i$的$k$次幂系数和
$$ \begin{aligned} \sum_{i=k}^n(1+x)^i&=(1+x)^k\times\frac{1-(1+x)^{n-k+1}}{1-(1+x)}\\\ &=\frac{(1+x)^{n+1}-(1+x)^k}{x}\\\ &=\frac{\sum_{i=0}^{n+1}\binom{n+1}{i}x^i-\sum_{j=0}^k\binom{k}{j}x^j}{x}\\\ &=\frac{x(\sum_{i=0}^{n+1}\binom{n+1}{i}x^{i-1}-\sum_{j=0}^k\binom{k}{j}x^{j-1})}{x}\\\ &=\sum_{i=0}^{n+1}\binom{n+1}{i}x^{i-1}-\sum_{j=0}^k\binom{k}{j}x^{j-1} \end{aligned} $$
因为$j-1$不可能等于$k$，因此即为$\sum_{i=0}^{n+1}\binom{n+1}{i}x^{i-1}$的$k$次项的系数，$i-1=k$时，二项式系数为$\binom{n+1}{k+1}$
（也可以把$\binom{k}{k}$看成$\binom{k+1}{k+1}$归纳递推）