[USACO1.5][IOI1994]数字三角形 Number Triangles

题目描述

观察下面的数字金字塔。

写一个程序来查找从最高点到底部任意处结束的路径，使路径经过数字的和最大。每一步可以走到左下方的点也可以到达右下方的点。

        7 
      3   8 
    8   1   0 
  2   7   4   4 
4   5   2   6   5 

在上面的样例中,从 $7 \to 3 \to 8 \to 7 \to 5$ 的路径产生了最大

输入格式

第一个行一个正整数 $r$ ,表示行的数目。

后面每行为这个数字金字塔特定行包含的整数。

输出格式

单独的一行,包含那个可能得到的最大的和。

样例 #1

样例输入 #1

5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

样例输出 #1

30

提示

【数据范围】
对于 $100\%$ 的数据，$1\le r \le 1000$，所有输入在 $[0,100]$ 范围内。

题目翻译来自NOCOW。

USACO Training Section 1.5

IOI1994 Day1T1

法一：暴力

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n;
int g[N][N];

int dfs(int x1, int y1){
    if(x1 > n || y1 > n) return 0;

    //求 最优子问题 dfs(x) = max(dfs(x + 1), dfs(x + 2));
    //求 子问题的和 fs(x) = dfs(x + 1) + dfs(x + 2);
    else return max(dfs(x1 + 1, y1), dfs(x1 + 1, y1 + 1)) + g[x1][y1];
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= i; j++){
            scanf("%d", &g[i][j]);
        }
    }

    int res = dfs(1, 1);
    printf("%d\n", res);
    return 0;
}

法二：记忆化搜索

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n;
int g[N][N];
int mem[N][N];

int dfs(int x1, int y1){
    if(mem[x1][y1]) return mem[x1][y1];

    int sum = 0;
    if(x1 > n || y1 > n) return 0;
    else sum = max(dfs(x1 + 1, y1), dfs(x1 + 1, y1 + 1)) + g[x1][y1];
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= i; j++){
            scanf("%d", &g[i][j]);
        }
    }

    int res = dfs(1, 1);
    printf("%d\n", res);
    return 0;
}

法三（1）：倒序递推（由下至上的递推）

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n;
int g[N][N];
int mem[N][N];
int f[N][N];

//int dfs(int x1, int y1){
//    if(mem[x1][y1]) return mem[x1][y1];
//
//    int sum = 0;
//    if(x1 > n || y1 > n) return 0;
//    else sum = max(dfs(x1 + 1, y1), dfs(x1 + 1, y1 + 1)) + g[x1][y1];
//}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= i; j++){
            scanf("%d", &g[i][j]);
        }
    }

    for(int i = n; i >= 1; i--){
        for(int j = 1; j <= n; j++){
            f[i][j] = max(f[i + 1][j], f[i + 1][j + 1]) + g[i][j];
        }
    }
    //int res = dfs(1, 1);
    printf("%d\n", f[1][1]);
    return 0;
}

法三（2）：正序递推

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n;
int g[N][N];
int mem[N][N];
int f[N][N];

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= i; j++){
            scanf("%d", &g[i][j]);
        }
    }

    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= i; j++){
            f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - 1]) + g[i][j];
        }
    }
    int res = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++){  //事先不知道终点是那个，要在最后一行里找下
        res = max(f[n][i], res);
    }
    printf("%d\n", res);
    return 0;
}

法四：在递推上 将二维 优化到 一维

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n;
int g[N][N];
int mem[N][N];
int f[N];  //二维优化到一维

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= i; j++){
            scanf("%d", &g[i][j]);
        }
    }

    for(int i = n; i >= 1; i--){
        for(int j = 1; j <= i; j++){
            f[j] = max(f[j], f[j + 1]) + g[i][j];
        }
    }

    printf("%d\n", f[1]);
    return 0;
}