函数极限定义

设$f(x)$是一个实函数，$a$是实数，若对于任意给定的正实数$\epsilon$，存在正实数$\delta$，使得当$x$满足$0<|x-a|<\delta$时，$|f(x)-A|<\epsilon$都成立，其中$A$为常数，则称$A$是函数$f(x)$当$x$趋近于$a$时的极限，记为$\lim\limits_{x \to a}{f(x)}=A$。

注：如果一个函数$f(x)$在$x$趋近于$x_0$的过程中极限为$A$，那么可以使用如下形式来表示该函数：

$$f(x)= A + \epsilon(x)$$

其中，$A$为函数$f(x)$在$x$趋近于$x_0$时的极限，$\epsilon(x)$为一个无穷小量，其极限为$0$。换句话说，当$x$无限接近于$x_0$时，$\epsilon(x)$的值趋近于$0$。

这种表示方式称为是使用极限运算符表示函数，它表示了当$x$趋近于$x_0$的时候，$f(x)$与其极限$A$的差异可以被看作一个无穷小量。这个无穷小量通常是一个关于$x$的表达式，但其值的大小可以被看作趋近于$0$。

使用这种表示方法有助于分析函数在$x_0$附近的行为，以及它的变化趋势。

函数极限性质

1.唯一性

如果$\lim_\limits{x \to a}{f(x)}$存在，则该极限唯一。

2.保号性

若$\lim_\limits{x \to a}{f(x)}=L$，且$L>0$（或$L<0$），则存在$a$的某个邻域$(a-\delta,a+\delta)$，使得在该邻域内，$f(x)>0$（或$f(x)<0$）。

3.局部有界性

若$\lim_\limits{x \to a}{f(x)}=L$，则存在一个正数$M$和正实数$\delta$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，$|f(x)|<M$。换句话说，函数$f(x)$在点$a$的某个去心邻域内是有界的。

海涅定理

设$f(x)$是定义在区间$(a,b)$上的函数，$x_0 \in (a,b)$。则$\lim_\limits{x \to x_0}{f(x)}=A$的充分必要条件是：对于$f(x)$的任何一个收敛于$x_0$的数列${x_n}$，都有$\lim_\limits{n \to \infty}{f(x_n)}=A$。

也就是说，如果函数$f(x)$在$x_0$处极限存在，那么对于$f(x)$的任何一组趋近于$x_0$的数列，这组数列在$f(x)$下的极限都存在，且这两个极限相等。反之，如果函数$f(x)$在$x_0$处极限不存在，则存在$f(x)$的一个数列${x_n}$，使得该数列收敛于$x_0$，但$\lim_\limits{n \to \infty}{f(x_n)}$不存在。

无穷小定义

在数学中，无穷小是指一个数列或者函数，如果它在某一点处的极限等于零，那么就称该数列或函数在该点处是无穷小。具体地说，对于函数$f(x)$，如果$\lim\limits_{x \to a}{f(x)}= 0$，则称函数$f(x)$在点$a$处为无穷小。

无穷小的定义有多种等价表述方式，其中一种是：如果对于任意正实数$\varepsilon$，都存在正实数$\delta$，使得当$x$满足$0 < |x-a| < \delta$时，有$|f(x)|<\varepsilon$，则称函数$f(x)$在点$a$处为无穷小。

无穷小可以是正无穷小、负无穷小和趋于零的无穷小。一个序列或者函数在某点处为无穷小，意味着在这个点附近，它的取值非常的小（接近于零），可以用来描述相对变化率微小的情况或者某些极限中的近似情况。

无穷小运算规则

1.有限常数与无穷小的乘积也是无穷小。

具体而言，如果$c$是一个常数，$f(x)$是无穷小，那么$c \cdot f(x)$也是无穷小。这条规则可以表示为$c \cdot O(f(x))= O(f(x))$，其中的$O(f(x))$是“量级为$f(x)$的无穷小”的意思。

2.有限常数与无穷小的和差仍是无穷小。

具体而言，如果$c_1$和$c_2$是两个常数，$f(x)$和$g(x)$分别是两个无穷小，那么$c_1 \cdot f(x) + c_2 \cdot g(x)$也是一个无穷小。同样地，$c_1 \cdot f(x) - c_2 \cdot g(x)$也是一个无穷小。这两条规则可以表示为：$c_1 \cdot O(f(x)) + c_2 \cdot O(g(x))=O(f(x))+O(g(x))=O(\max(f(x),g(x)))$，$c_1 \cdot O(f(x)) - c_2 \cdot O(g(x))=O(f(x))+O(g(x))=O(\max(f(x),g(x)))$。其中的$\max(f(x),g(x))$是$f(x)$和$g(x)$的上确界。

3.无穷小的乘积是无穷小。

具体而言，如果$f(x)$和$g(x)$是两个无穷小，那么$f(x)\cdot g(x)$也是一个无穷小。这个规则的表达式为$O(f(x)) \cdot O(g(x))=O(f(x) \cdot g(x))$。

4.无穷小的幂次是无穷小。

具体而言，如果$f(x)$是一个无穷小，$n$是一个正整数（$n>0$），那么$f^n(x)$（$f(x)$的$n$次方）也是一个无穷小。这个规则的表达式为$O(f(x))^n=O(f^n(x))$。

需要注意的是，这些运算规则中的等号并不是严格的等式，而是“等价”的关系。例如，$O(f(x))+O(g(x))$等于$O(\max(f(x),g(x)))$，意思是两个量级在一定意义上是等价的，但精确的数值大小还是要根据实际情况来判断。

常用的等价无穷小

当$x$趋近于零时，$\sin x \sim x$，$\tan x \sim x$，$\arcsin x\sim x$，$\arctan x \sim x$ ，$1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$，$\{a^x - 1} \sim {x\ln a}$, $\ln (1+x) \sim x$，$\sqrt{1+x}-1 \sim \frac{x}{2}$, $(1+x)^{\alpha}-1\sim \alpha x$。

当$x$趋近于零时，$e^x-1\sim x$，$\frac{e^x-1}{x} \sim 1$。这些等价无穷小可以方便地处理指数函数的极限和近似计算。

当$x$趋近于零时，$\ln \frac{1+\sin x}{1-x} \sim 2x$。这个等价无穷小可以应用于某些复杂的极限计算中。

当$x$趋近于零时，$\sinh x \sim x$，$\tanh x \sim x$，$\mathrm{arcsinh}, x\sim x$，$\mathrm{arctanh}, x \sim x$。这些等价无穷小可以方便地处理双曲函数的极限和近似计算。