当我们需要计算一个平面区域上的某个函数的平均值、质心、面积等物理量时，就需要用到二重积分。## 一、直接积分法直接积分法是将平面区域分成若干个小矩形，对每个小矩形上的函数进行积分，然后将所有小矩形的积分结果相加得到整个平面区域上的积分值。具体来说，我们可以将平面区域 $D$ 分成 $n$ 个小矩形，每个小矩形的面积为 $\Delta S$，中心点为 $(x_i,y_i)$，则二重积分的近似值为： $$\iint_D f(x,y)dxdy \approx \sum_{i=1}^n f(x_i,y_i)\Delta S$$ 当 $n$ 趋近于无穷大时，上式的近似值趋近于二重积分的真实值。## 二、极坐标变换法极坐标变换法则是将平面区域用极坐标表示，然后将原函数用极坐标表示，最后进行积分。具体来说，我们可以将平面区域 $D$ 用极坐标表示为： $$D=\{(r,\theta)|a\leq r\leq b,\alpha\leq\theta\leq\beta\}$$ 其中 $a,b,\alpha,\beta$ 为常数。然后将原函数用极坐标表示为： $$f(x,y)=g(r,\theta)$$ 其中 $g(r,\theta)$ 为原函数在极坐标下的表示。最后进行积分： $$\iint_D f(x,y)dxdy = \int_\alpha^\beta\int_a^bg(r,\theta)rdrd\theta$$ 其中积分区域为平面区域 $D$，积分顺序可以是先对 $r$ 积分再对 $\theta$ 积分，也可以是先对 $\theta$ 积分再对 $r$ 积分。## 三、应用二重积分的应用非常广泛，例如在物理学中，可以用二重积分来计算物体的质心；在工程学中，可以用二重积分来计算物体的表面积等。