bellman-ford算法是一种在有向图中从一个给定的源顶点到所有其他顶点之间找到最短路径的算法²。这种算法可以用于有权重和无权重的图。与Dijkstra算法不同，bellman-ford算法能够处理一些边的权重为负数的图¹²。

bellman-ford算法的工作原理是，它先对从源顶点到所有其他顶点的路径长度进行过高估计。然后它通过找到比之前过高估计的路径更短的新路径来迭代地放松这些估计。通过对所有顶点重复这样做，我们可以保证得到最短路径⁴。

bellman-ford算法可以用以下步骤概括：

1. 初始化：将源顶点的距离设为0，将其他所有顶点的距离设为无穷大。
2. 放松：对图中的每条边进行放松操作，即如果从源顶点经过边(u,v)到达v顶点的距离小于当前v顶点的距离，则更新v顶点的距离为d[u]+w(u,v)，其中d[u]是u顶点的距离，w(u,v)是边(u,v)的权重。
3. 重复：对图中的每条边重复放松操作|V|-1次，其中|V|是图中顶点的个数。
4. 检测：检查是否存在负权环路，即如果存在某条边(u,v)，使得d[v]>d[u]+w(u,v)，则说明存在负权环路，并报告错误。

下面是一个使用C++实现bellman-ford算法并应用于一个经典案例（有向图如下）⁶ 的代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <limits>
using namespace std;

// 定义一个结构体表示边
struct Edge {
    int source; // 源顶点
    int destination; // 目标顶点
    int weight; // 边权重
};

// 定义一个结构体表示图
struct Graph {
    int V; // 顶点个数
    int E; // 边个数
    vector<Edge> edges; // 边集合
};

// 创建一个图并返回指针
Graph* createGraph(int V, int E) {
    Graph* graph = new Graph;
    graph->V = V;
    graph->E = E;
    graph->edges.resize(E);
    return graph;
}

// 打印最短路径结果
void printResult(int dist[], int n) {
    cout << "Vertex\tDistance from Source" << endl;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        cout << i << "\t" << dist[i] << endl;
}

// bellman-ford算法实现函数
void bellmanFord(Graph* graph, int src) {
    int V = graph->V;
    int E = graph->E;

    // 初始化距离数组
    vector<int> dist(V, numeric_limits<int>::max());

    // 将源节点距离设为0
    dist[src] = 0;

   // 对每条边进行|V|-1次放松操作 
   for (int i = 1; i <= V-1; ++i) {
       for (int j = 0; j < E; ++j) {
           int u = graph->edges[j].source;
           int v = graph->edges[j].destination;
           int weight

Source: (1) Bellman–Ford algorithm - Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm .
(2) Bellman-Ford Algorithm | Brilliant Math & Science Wiki. https://brilliant.org/wiki/bellman-ford-algorithm/ .
(3) Bellman Ford’s Algorithm - Programiz. https://www.programiz.com/dsa/bellman-ford-algorithm .
(4) Bellman-Ford Algorithm. http://personal.kent.edu/~rmuhamma/Algorithms/MyAlgorithms/GraphAlgor/bellFordAlgor.htm .
(5) Bellman–Ford Algorithm | DP-23 - GeeksforGeeks. https://www.geeksforgeeks.org/bellman-ford-algorithm-dp-23/ .
(6) Bellman-Ford algorithm Example of Bellman-Ford. https://bing.com/search?q=bellman-ford+algorithm+example .
(7) Distance-vector routing protocol - Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Distance-vector_routing_protocol .
(8) Bellman-Ford algorithm - Algowiki. https://algowiki-project.org/en/Bellman-Ford_algorithm .
(9) Bellman Ford’s Algorithm - Programiz. https://www.programiz.com/dsa/bellman-ford-algorithm .
(10) Bellman–Ford algorithm - Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm .