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提出关系模型的是美国 IBM 公司的 E.F.Codd：

• 1970年提出关系数据模型，之后，提出了关系代数和关系演算的概念。
• 1972年提出了关系的第一、第二、第三范式。
• 1974年提出了关系的 BC 范式。

2.1 关系数据结构及形式化定义

按照数据模型的三个要素：

• 关系模型由关系数据结构；
• 关系操作集合；
• 关系完整性约束三部分组成。

下面将对这三部分内容进行分别介绍。

2.1.1 关系

关系模型的数据结构非常简单，只包含单一的数据结构—关系。在用户看来，关系模型中数据的逻辑结构是一张扁平的二维表。

域

• 是一组具有相同数据类型的值的集合。
• 例如：自然数、整数、实数的集合。

笛卡尔积

• 给定一组域：$D_1, D_2, D_3, \dots, D_n$，且允许其中某些域是相同的
• 则其笛卡尔积为：$D_1 \times D_2 \times D_n \times \dots \times D_n = \{ (d_1, d_2, d_3 \dots, d_n)\ | \ d_i \in D_i, i = 1, 2, \dots , n \}$。
• 其中每一个元素 $(d_1, d_2, d_3 \dots, d_n)$ 叫做一个 $n$ 元组，或简称元组，其中 $d_i$ 为分量。

一个域允许的不同取值个数称为这个域的基数：

• 若 $D_i (i = 1, 2, \dots, n)$ 为有限集，其基数为 $m_i(i = 1, 2, \dots, n)$
• 则 $D_1 \times D_2 \times D_n \times \dots \times D_n$ 的基数 $M = \prod^{n}_{i = 1}m_i$。

笛卡尔积可以表示为一张二维表，表中的每行对应一个元组，表中的每一列的值来自一个域。

例如：

• 已知：$D_1 = X = \{ a, b \}, D_2 = Y = \{ c, d \}$

• 则 $D_1 \times D_2$ 的笛卡尔积为 $D_1 \times D_2 = \{ (a, c), (a, d), (b, c), (b, d) \}$

• 笛卡尔基数为 $2 \times 2 = 4$，共 $4$ 个元组，可生成表格如下：

• $X$	$Y$
  $a$	$c$
  $a$	$d$
  $b$	$c$
  $b$	$d$

关系

• $D_1 \times D_2 \times D_n \times \dots \times D_n$ 的子集叫做在域 $D_1, D_2, D_3, \dots, D_n$ 上的关系。

• 表示为 $R(D_1, D_2, D_3, \dots, D_n)$，其中 $R$ 为关系名，$n$ 为关系的目或度（Degree）。

• 关系中的每个元素是关系中的元组，通常用 $t$ 表示。

• 当 $n = 1$ 时，称该关系为单元关系（Unary relation）或一元关系，$n = 2$ 时称为二元关系（Binary relation）。

关系是笛卡儿积的有限子集，所以关系也是一张二维表，表的每行对应一个元组，表的每列对应一个域。

码

• 候选码（Candidate key）：若关系中的某一属性组的值能唯一地标识一个元组，而其子集不能，则称该属性组为候选码（如学号，身份证号）。

• 全码（All key）：在最简单的情况下，候选码只包含一个属性。在最极端的情况下，关系模式的所有属性是这个关系模式的候选码。

• 主码（Primary key）：若一个关系有多个候选码，则选定其中一个为主码。候选码的诸属性称为主属性（Prime attribute）。不包含在任何侯选码中的属性称为非码属性或非主属性（Non-key attribute）。

主码和候选码本质相同，只是数量不同。

三类关系

• 基本关系（基本表或基表）：实际存在的表，是实际存储数据的逻辑表示。
• 查询表：查询结果对应的表。
• 视图表：由基本表或其他视图表导出的表，是虚表，不对应实际存储的数据。

基本关系的性质

• 列同质的（Homogeneous）每一列中的分量是同一类型的数据，来自同一个域。
• 不同的列可出自同一个域：
• 其中的每一列称为一个属性。
• 不同的属性要给予不同的属性名。
• 列的顺序无所谓(属性名打破有序性）。
• 任意两个元组不能完全相同（候选码不同）。
• 行的顺序无所谓，即行的次序可以任意交换。
• 分量必须取原子值，每一个分量都必须是不可分的数据项。这是规范条件中最基本的。

2.1.2 关系模式

在数据库中要区分型和值，关系数据库中：

• 关系模式（Relation Schema）是型，关系是值。

关系模式是对关系的描述：

• 元组集合的结构：

• 属性构成

• 属性来自的域

• 属性与域之间的映象关系

• 完整性约束条件，元组语义。

关系的描述称为关系模式（relation schema）。它可以形式化地表示为 $R(U, D, DOM, F)$：

• $R$ 为关系名

• $U$ 为组成该关系的属性名集合

• $D$ 为 $U$ 中属性所来自的域

• $DOM$ 为属性向域的映像集合

• $F$ 为属性间数据的依赖关系集合。

2.1.3 关系数据库

在关系模型中，实体以及实体间的联系都是用关系来表示的。在一个给定的应用领域中，所有关系的集合构成一个关系数据库。

关系数据库也有型和值之分：

• 关系数据库的型也称为关系数据库模式，是对关系数据库的描述。
• 关系数据库模式包括若干域的定义，以及在这些域上定义的若干关系模式。
• 关系数据库的值是这些关系模式在某一时刻对应的关系的集合，通常就称为关系数据库。

2.1.4 关系模型的存储结构

• 有的关系数据库管理系统中一个表对应一个操作系统文件，将物理数据组织交给操作系统完成。
• 有的关系数据库管理系统从操作系统那里申请若干个大的文件，自己划分文件空间，组织表、索引等存储结构，并进行存储管理。

2.2 关系操作

2.2.1 基本的关系操作

• 查询：
• 基本操作：选择、投影、并、差、笛卡尔积；
• 其他操作：连接、除、交，可由上述基本操作导出。
• 数据更新：插入、删除、修改。

关系操作的特点是集合操作方式：

• 操作的对象和结果都是集合。
• 这种操作方式也称为一次一集合(set-at-a-time)的方式。

相应地，非关系数据模型的数据操作方式则为一次一记录（record-at-a-time）的方式。

2.2.2 关系数据语言的分类

特点：

• 关系语言是一种高度非过程化的语言，存取路径的选择由 DBMS 的优化机制来完成，用户不必用循环结构就可以完成数据操作。
• 能够嵌入高级语言中使用。
• 关系代数、元组关系演算和域关系演算三种语言在表达能力上完全等价。

2.3 关系的完整性

关系模型中有三类完整性约束：

• 实体完整性(entity integrity)

• 参照完整性(referential integrity)

• 用户定义的完整性(user-defined integrity)。

关系模型必须满足实体完整性和参照完整性，被称作是关系的两个不变性，应该由关系系统自动支持。

用户定义的完整性是应用领域需要遵循的约束条件，体现了具体领域中的语义约束。

2.3.1 实体完整性

• 若属性（指一个或一组属性）$A$ 是基本关系 $R$ 的主属性，则 $A$ 不能取空值（null value）。
• 所谓空值就是“不知道”或“不存在”或“无意义”的值。

原因：

1. 实体完整性规则是针对基本关系而言的。一个基本表通常对应现实世界的一个实体集。
2. 现实世界中的实体是可区分的，即它们具有某种唯一性标识。
3. 关系模型中以主码作为唯一性标识。
4. 主码中的属性即主属性不能取空值。主属性取空值，就说明存在某个不可标识的实体，即存在不可区分的实体，这与第（2）点相矛盾，因此这个规则称为实体完整性。

2.3.2 参照完整性

外码：

• 设 $F$ 是基本关系 $R$ 的一个或一组属性，但不是关系 $R$ 的码，
• 如果 $F$ 与基本关系 $S$ 的主码 $K_s$ 相对应，则称 $F$ 是 $R$ 的外码。
• 基本关系 $R$ 称为参照关系（Referencing Relation）
• 基本关系 $S$ 称为被参照关系（Referenced Relation）或目标关系（Target Relation）

关系 $R$ 和 $S$ 不一定是不同的关系，目标关系 $S$ 的主码 $K_s$ 和参照关系的外码 $F$ 必须定义在同一个（或一组）域上。

外码并不一定要与相应的主码同名；当外码与相应的主码属于不同关系时，往往取相同的名字，以便于识别。

参照完整性规则：

• 若属性（或属性组）$F$ 是基本关系 $R$ 的外码，它与基本关系 $S$ 的主码 $K$ 相对应（基本关系 $R$ 和 $S$ 不一定是不同的关系）
• 则对于 $R$ 中每个元组在 $F$ 上的值必须：
• 取空值（$F$ 的每个属性值均为空值）
• 或等于 $S$ 中某个元组的主码值

2.3.3 用户定义的完整性

• 用户定义的完整性是针对某一具体关系数据库的约束条件，反映某一具体应用所涉及的数据必须满足的语义要求。
• 关系模型应提供定义和检验这类完整性的机制，以便用统一的系统的方法处理它们，而不要由应用程序承担这一功能。

2.4 关系代数

关系代数是一种抽象的查询语言，它用对关系的运算来表达查询。

运算具备以下要偶素：

• 运算对象
• 运算符
• 运算结果

任何一种运算都是将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果。

关系代数的运算对象是关系，运算结果亦为关系。关系代数用到的运算符包括两类：

• 集合运算符
• 专门的关系运算符

2.4.1 传统的集合运算

传统的集合运算是二目运算，包括并、差、交、笛卡儿积4种运算。

设关系 $R$ 和关系 $S$ 具有相同的目（即两个关系都有 $n$ 个属性），且相应的属性取自同一个域，$t$ 是元组变量，$t \in R$ 表示 $t$ 是 $R$ 的一个元组。可以定义并、差、交、笛卡儿积运算如下：

• 并（union）：
• 关系 $R$ 与关系 $S$ 的并记作： $R \cup S = \{t |t \in R \land t \in S \}$
• 其结果仍为 $n$ 目关系，由属于 $R$ 或属于 $S$ 的元组组成。
• 差（except）：
• 关系 $R$ 与关系 $S$ 的差记作：$R - S = \{ t | t \in R \land t \notin S \}$
• 其结果关系仍为 $n$ 目关系，由属于 $R$ 而不属于 $S$ 的所有元组组成。
• 交（intersection）：
• 关系 $R$ 与关系 $S$ 的交记作 $R \cap S = \{ t | t \in R \land t \in S \}$
• 其结果关系仍为 $n$ 目关系，由既属于 $R$ 又属于 $S$ 的元组组成。
• 关系的交可以用差来表示，即 $R \cap S = R - ( R - S )$ 。
• 笛卡儿积（cartesian product）：
• 这里笛卡儿积的元素是元组。
• 两个分别为 $n$ 目和 $m$ 目的关系 $R$ 和 $S$ 的笛卡儿积是一个 $(n + m)$ 列的元组的集合。元组的前 $n$ 列是关系 $R$ 的一个元组，后 $m$ 列是关系 $S$ 的一个元组。
• 若 $R$ 有个元组，$S$ 有 $2$ 个元组，则关系 $R$ 和关系 $S$ 的笛卡儿积有 $k_1 \times k_2$ 个元组。记作 $R \times S = \{\overset{\frown}{t_r t_s} | t_r \in R \land t_s \in S \}$

2.4.2 专门的关系运算

专门的关系运算包括选择、投影、连接、除运算等。为了叙述上的方便，先引入几个记号：

• $R$，$t \in R$，$t[A_i]$
• 设关系模式为 $R(A_1, A_2, \dots , A_n)$
• 它的一个关系设为 $R$
• $t \in R$ 表示 $t$ 是 $R$ 的一个元组
• $t[A_i]$ 表示元组 $t$ 中相应于属性 $A_i$ 的一个分量
• $A$，$t[A]$，$\overline{A}$
• 若 $A = \{ A_{i1}, A_{i2}, \dots , A_{ik} \}$，其中 $A_{i1}, A_{i2}, \dots , A_{ik}$ 是 $A_1, A_2, \dots , A_n$ 中的一部分，则 $A$ 被称为属性列或属性组。
• $t[A] = (t[A_{i1}], t[A_{i2}], \dots , t[A_{ik}])$ 表示元组 $t$ 在属性列$A$ 上诸分量的集合。
• $\overline{A}$ 则表示 $\{ A_1, A_2, \dots , A_n \}$ 中去掉 $A_{i1}, A_{i2}, \dots , A_{ik}$ 后剩余的属性组。
• $\overset{\frown}{t_r t_s}$
• $R$ 为 $n$ 目关系，$S$ 为 $m$ 目关系
• $t_r \in R$，$t_s \in S$， $\overset{\frown}{t_r t_s}$ 称为元组的连接
• $\overset{\frown}{t_r t_s}$ 是一个 $n + m$ 列的元组，前 $n$ 个分量为 $R$ 中的一个 $n$ 元组，后 $m$ 个分量为 $S$ 中的一个 $m$ 元组
• 象集 $Z_x$
• 给定一个关系 $R(X, Z)$， $X$ 和 $Z$ 为属性组
• 当 $t[X] = x$ 时，$x$ 在 $R$ 中的象集（Images Set） 为：$Z_x = \{ t[Z] | t\in R, t[X] = x \}$
• 它表示 $R$ 中属性组 $X$ 上值为 $x$ 的诸元组在 $Z$ 上分量的集合。

选择

• 选择又称为限制（Restriction）
• 选择运算符的含义：
• 在关系R中选择满足给定条件的诸元组
• $\sigma_F(R) = \{ t | t \in R \land F(t) = `true’ \}$
• $F$：选择条件，是一个逻辑表达式，取值为“真”或“假”
• 基本形式为：$X_1 \theta Y_1$
• $\theta$ 表示比较运算符，它可以是 $\gt, \ge, \lt, \le, =, \ne$。
• $X_1, Y_1$ 等是属性名、常量、简单函数；属性名也可以用它的序号来代替；
• 在基本的选择条件上可以进一步进行逻辑运算，求非 ，与，或运算。

投影

• 从 $R$ 中选择出若干属性列组成新的关系
• $\Pi_A(R) = \{ t[A] | t \in R \}$
• $A$ ：$R$ 中的属性
• 投影操作主要是从列的角度进行运算
• 投影之后不仅取消了原关系中的某些列，而且还可能取消某些元组（避免重复行）

连接

• 连接也称为 $\theta$ 连接
• 连接运算的含义：
• 从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组
• $R \underset{A \theta B}{\bowtie} S = \{ \overset{\frown}{t_r t_s} | t_r \in R \land t_s \in S \land t_r[A] \theta t_s[B] \}$
• $A$ 和 $B$ ：分别为 $R$ 和 $S$ 上度数相等且可比的属性组
• 连接运算从 $R$ 和 $S$ 的广义笛卡尔积 $R \times S$ 中选取 $R$ 关系在 $A$ 属性组上的值与 $S$ 关系在 $B$ 属性组上的值满足比较关系 $\theta$ 的元组

两类常用连接运算：

• 等值连接（equijoin）：
• $\theta$ 为 $=$ 的运算
• 从关系 $R$ 与 $S$ 的广义笛卡尔积中选取 $A,B$ 属性值相等的那些元组
• $R \underset{A = B}{\bowtie} S = \{ \overset{\frown}{t_r t_s} | t_r \in R \land t_s \in S \land t_r[A] \theta t_s[B] \}$
• 自然连接（natural join）：
• 自然连接是一种特殊的等值连接：
  • 两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组
  • 在结果中把重复的属性列去掉
• 自然连接的含义：
  • $R$ 和 $S$ 具有相同的属性组 $B$
  • $R \bowtie S = \{ \overset{\frown}{t_r t_s} [U-B] | t_r \in R \land t_s \in S \land t_r[B] = t_s[B] \}$

一般的连接操作是从行的角度进行运算。

​ 自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和列的角度进行运算。

除运算

• 给定关系 $R(X, Y)$ 和 $S(Y, Z)$，其中 $X, Y, Z$ 为属性组。
• $R$ 中的 $Y$ 与 $S$ 中的 $Y$ 可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。
• $R$ 与 $S$ 的除运算得到一个新的关系 $P(X)$
• $P$ 是 $R$ 中满足下列条件的元组在 $X$ 属性列上的投影：
• 元组在 $X$ 上分量值 $x$ 的象集 $Y_x$ 包含 $S$ 在 $Y$ 上投影的集合
• $R \div S = \{ t_r[X] | t_r \in R \land \Pi_Y(S) \subseteq Y_x \}$
• $Y_x$ ：$x$ 在 $R$ 中的象集，$x = t_r[X]$

除操作是同时从行和列角度进行运算