目录

• 矩阵的基本运算
• 常量及变量
• 运算符及常见函数
• 定义矩阵/数组
• 获取矩阵元素
• Matlab可视化绘图
• Matlab符号运算(求导,极限,最值,极值,积分,解微分方程)

（一）矩阵的基本运算

假设有一个$3\times3$的矩阵A
$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \newline 5 & 7 & 9 \newline 3 & 8 & 4 \end{bmatrix}$$

1. 转置
命令行语句: A'
2.加减数乘乘方
矩阵之间的加减运算注意要满足矩阵的运算法则即矩阵的维度相同
矩阵之间的乘方运算注意要满足矩阵的运算法则即该矩阵为方阵
假设为n次方
命令行语句： A^n
3.求行列式
命令行语句: det(A)
4.求可逆矩阵的逆矩阵
命令行语句： inv(A)

（二）常量及变量

1.变量
Matlab中的变量不需要声明，但变量名命名时第一个字符不可以是数字
2.常见常量
（1） pi 为圆周率Π
（2） i,j为虚数单位
（3） Inf为无穷大值
（4） NaN为空值
（5） e为自然对数e

（三）运算符及常见函数

1.常见运算符
+,-,*,\,/(左除),乘方 (注意数组运算（点运算）和矩阵运算的区别)
2.常见函数
sqrt()计算某个数的平方根
abs() 计算某个数的绝对值
exp()以自然对数e为底的指数函数
rank() 计算某个矩阵的秩
det()计算某个矩阵的行列式
eig()计算某个矩阵的特征值
poly()计算某个矩阵的特征多项式
注意以行向量的形式返回从首元素开始次数依次减小

>> poly(A)

ans =

    1.0000  -12.0000  -52.0000  -27.0000

如A矩阵的特征多项式为$x^3-12x^2-52x-27$
roots()计算某个方程的根
计算时要注意将系数按照从大到小次序写到一个数组中
如计算方程$x^3+67x^2-43x+109=0$
要将其写为 B=[1,67,-43,109] 的数组形式进行输入计算

>> B=[1,67,-43,109];
>> roots(B)

ans =

 -67.6593 + 0.0000i
   0.3297 + 1.2257i
   0.3297 - 1.2257i

linspace()用于构造矩阵数组

（四）定义矩阵/数组

1.直接构造—输入即可
2.增量法—（首位：步长：末位）
假如输入从1到8步长为2的数组

>> B=1:2:8

B =

     1     3     5     7

3.linspace(x1,x2,n)函数
函数参数x1为数组首位，x2为数组末位，n为数组中元素个数

>> linspace(1,6,3)

ans =

    1.0000    3.5000    6.0000

>> linspace(1,6,6)

ans =

     1     2     3     4     5     6

4.常见矩阵生成函数

其他特殊矩阵生成函数:magic,hilb,pascal

（五）获取矩阵元素

获取矩阵中第三行第一列的元素 A(3,1)

>> A(3,1)
ans =

     3

获取矩阵中第二列元素 A(:,2)

>> A(:,2)

ans =

     2
     7
     8

获取整个矩阵 A(:,:) 好像有点多此一举

>> A(:,:)

ans =

     1     2     3
     5     7     9
     3     8     4

（六）Matlab可视化绘图

1.二维平面绘图

二维平面参数方程绘图—plot函数
可以利用subplot函数将绘图平面分为几部分,将几种不同的函数图像综合在一个窗口中

subplot(2,2,1) 
t=0.1:0.1:2*pi; 
y=sin(t);  %%图像为关于t的正弦函数
plot(t,y) 
grid on %%做出网格
subplot(2,2,2) 
t=0:0.1:4*pi; 
y=sin(t); %%两个周期内的正弦函数
plot(t,y) 
subplot(2,2,3) 
x=1:0.01:5; 
y=exp(x); 
plot(x,y) %%自然对数指数函数
subplot(2,2,4) 
x=1:0.1:10; 
y=sqrt(x);%%完全平方函数
plot(x,y,'rd') %%将函数图像标记为红色菱形

做出的图像为

plot函数常见的线型和颜色参数
颜色

线型

顶点标记

二维平面极坐标系绘图—ploarplot函数
利用ploarplot函数画出三叶玫瑰线

t = 0:0.01:2*pi;
%生成极角范围为 0 - 2*pi 的若干个等间距点的行向量

r = 3*sin(3*t);   %极径方程

polarplot(t,r,'r');   %polarplot函数：极坐标系作图 图1 红色
title('三叶玫瑰线');   %设置标题名字

二维平面隐函数作图—fimplicit函数 我愿称之为最简单的

f = @(x,y) x.^2 + y.^2 - 1 ;
%%定义单位圆隐函数
fimplicit(f,[-2 2 -2 2])
%%在x,y分别为[-2,2]的区间上作出图像

注意flimplicit函数的默认作图区间为[-5,5]
okey,我们用以上三种方法来画心形线

t = 0 :0.01:2*pi;
r = 1 + cos(t);

subplot(2,2,1);
polarplot(t,r,'r');

grid on;

x = 2*cos(t)+cos(2*t);
y = 2*sin(t)+sin(2*t);

subplot(2,2,2);
plot(x,y,'b');

f = @(x,y) x^2 + y^2 - x - sqrt(x^2 + y^2);
subplot(2,2,3)
fimplicit(f,'g');

2.三维空间绘图

plot3曲线绘图函数

t = 0:pi/50:10*pi;
%%生成0-10Π等间距的一系列行向量
st = sin(t);
%%st方向上为正弦函数图像
ct = cos(t);
%%ct方向上为余弦函数图像
plot3(st,ct,t)

mesh网格绘图函数

x = -2:0.25:2;
y = x;
[X,Y] = meshgrid(x);
%%将x,y向量映射到网格坐标中
F = X.*exp(-X.^2-Y.^2);
mesh(X,Y,F)

surf表面绘图函数

x = -2:0.25:2;
y = x;
[X,Y] = meshgrid(x);
F = X.*exp(-X.^2-Y.^2);
surf(X,Y,F)

okey,我们来用以上三种方法来画双曲抛物面(马鞍面)

x = linspace(-10,10);
y = linspace(-10,10);
[X,Y] = meshgrid(x,y);%生成网格

Z = X.^2 - Y.^2;%a = b = 1

subplot(2,2,1);%图1
mesh(X,Y,Z);%填充线条绘图
view(20,40);%调整视角

subplot(2,2,2);%图1
surf(X,Y,Z);%填充网格绘图
view(20,50);%调整视角

subplot(2,2,3);%图1
plot3(X,Y,Z);%三维曲线构成曲面
view(20,60);%调整视角

3.特殊图形绘制

面积图函数–area

x = [10 11 12];
%%面积图上三个对应点
Y = [21.6 25.4; 70.8 66.1; 58.0 43.6];
%%面积图对应三个点增量
area(x,Y)
legend({'Model A','Model B'})

直方图函数—bar

x = 2012:1:2022;
%%直方图几个对应横坐标
y = [75 91 105 123.5 131 150 179 203 226 249 281.5];
%%直方图对应x的数值
bar(x,y)

扇形图函数—pie

x=[200,360,120,400,320]; 
%%扇形图表示的是x占总和的比例

subplot(2,2,1)
pie(x,[0 0 0 1 0])
%%[0 0 0 1 0]表示扇形中是否分块
title('图1');

subplot(2,2,2), 
pie3(x,[0 0 0 1 0])
title('图2');

subplot(2,2,3)
pie(x(2:5))
title('图3');

subplot(2,2,4)
x=[0.1,0.12,0.21,0.34,0.11];
pie3(x ,{'A','B','C','D','E'}) 
%%给扇形图标记相应字母
title('图4');

（七）Matlab符号运算

需要下载Symbolic Math Toolbox工具包

1.因式分解—factor函数

syms x
syms y
assume(x, 'real')
assume(y, 'real')
%%注意定义函数时将其标注为syms中实数类型
f = (x^2 + 3*x*y + 2*y^2 + 4*x + 5*y + 3)
factor(f)

结果为

ans =

[x + y + 1, x + 2*y + 3]
%%两因式乘积

举例函数
$f(x) = \frac{3x^3 + 17x^2 +6x + 1}{2x^3 - x + 3}$

syms x
assume(x, 'real')
f = (3*x^3 + 17*x^2 + 6*x + 1)/(2*x^3 - x + 3)
fplot(f)
grid

函数图像

计算极限值—limit函数

lim_left = limit(f, x, -inf)
lim_right = limit(f, x, inf)
%%计算函数值趋于无穷时的自变量值

结果为

lim_left =

3/2


lim_right =

3/2

结合图像验证可知$x=\frac{3}{2}$时函数值极限趋于无穷

计算导函数—diff函数

g=diff(f,x)
h=diff(f,x,2)
%%函数的第三个参数为2表示所求为二阶导

结果为

g =

(9*x^2 + 34*x + 6)/(2*x^3 - x + 3) - ((6*x^2 - 1)*(3*x^3 + 17*x^2 + 6*x + 1))/(2*x^3 - x + 3)^2


h =

(18*x + 34)/(2*x^3 - x + 3) - (2*(6*x^2 - 1)*(9*x^2 + 34*x + 6))/(2*x^3 - x + 3)^2 - (12*x*(3*x^3 + 17*x^2 + 6*x + 1))/(2*x^3 - x + 3)^2 + (2*(6*x^2 - 1)^2*(3*x^3 + 17*x^2 + 6*x + 1))/(2*x^3 - x + 3)^3

多元函数偏导数计算则将第二个参数为x,则表示对x求偏导
举例 $f(x,y)= x^2 + 3xy +2y^2 +4x + 5y +3$

syms x
syms y
assume(x, 'real')
assume(y, 'real')
f = (x^2 + 3*x*y + 2*y^2 + 4*x + 5*y + 3)
m = diff(f, y)
%%对y求偏导

结果为

m =

3*x + 4*y + 5

计算极值点

求导后解方程

g = diff( f , x )
g0 = solve( g , x )
double(g0)
%%利用double函数计算近似值

结果为

ans =

   -0.1892
    1.2860

计算最大(最小)值点—利用内联函数

关于内联函数个人理解是被计算函数的变量是由Symbolic Math Toolbox工具包定义的,min,max函数的输入值为数组或者矩阵,内联函数则实现了变量转化的功能

t = -100:0.01:100;

y = inline(f)
%%内联函数
min = min(y(t))
max = max(y(t))

结果为

min =

  -4.4730e+03


max =

  173.6527

计算积分—int函数

syms x
assume(x, 'real')
f = ( 3*x^3 + 17*x^2 + 6*x + 1)/(2*x^3 - x + 3)
t = int( f , x , [3,4] )
%%int函数第一参数为被积函数,第二个参数为积分变量,第三个参数为积分区间
m = vpa(t)
%%vpa函数计算出其具体的值

结果为

t =

int((3*x^3 + 17*x^2 + 6*x + 1)/(2*x^3 - x + 3), x, 3, 4)


m =

4.2289590152094368082694890801909

求解微分方程—dsolve函数

举例
微分方程为: ${y}’= \frac{a}{\sqrt{y}} + y$
初值条件为：$y\left ( a \right ) = 1$

syms a y(t)
eqn = diff(y) == a/sqrt(y) + y;
%%微分方程
cond = y(a) == 1;
%%处值条件
ym = dsolve(eqn,cond)
%%函数的第一个参数为微分方程,第二参数为初值条件

最后加一个表情包

Referces:

[1] LaTeX新手教程
[2] https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/learn_matlab/help.html