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前置知识 ： 【网络流】最大流

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问题描述

给定一个有向图 $G=(V,E)$ ，以及源点 $S$ 和汇点 $T$ 。

每一条边有两个权值 $c$ 和 $w$。

$c$ 表示边的容量。

$w$ 表示边的费用。

要求在流量最大的前提下，费用最少。

（注：一般不出现负环）

过程

基于 EK 算法，将 bfs 替换成 spfa 。

时间复杂度

spfa 的最坏时间复杂度为 $O(nm)$ 。

所以算法时间复杂度为 $O(nmf)$ ，其中 f 表示最大流。

实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 5010, M = 100010, inf = 0x3f3f3f3f;
int n, m, S, T;
int h[N], e[M], f[M], w[M], ne[M], idx;
int q[N], d[N], pre[N], incf[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c, int d)
{
    e[idx] = b, f[idx] = c, w[idx] = d, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
    e[idx] = a, f[idx] = 0, w[idx] = -d, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++ ;
}

bool spfa()
{
    memset(incf, 0, sizeof incf);
    memset(d, 0x3f, sizeof d);

    int hh = 0, tt = 1;
    q[0] = S, d[S] = 0, incf[S] = inf;
    while (hh != tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];
        if (hh == N) hh = 0;
        st[t] = false;

        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (f[i] && d[j] > d[t] + w[i])
            {
                d[j] = d[t] + w[i];
                pre[j] = i;
                incf[j] = min(incf[t], f[i]);
                if (!st[j])
                {
                    q[tt ++ ] = j;
                    if (tt == N) tt = 0;
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }

    return incf[T] > 0;
}

void EK(int& flow, int& cost)
{
    flow = cost = 0;
    while (spfa())
    {
        flow += incf[T], cost += incf[T] * d[T];
        for (int i = T; i != S; i = e[pre[i] ^ 1] )
        {
            f[pre[i]] -= incf[T];
            f[pre[i] ^ 1] += incf[T];
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &S, &T);
    memset(h, -1, sizeof h);
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a, b, c, d;
        scanf("%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d);
        add(a, b, c, d);
    }

    int flow, cost;
    EK(flow, cost);
    printf("%d %d\n", flow, cost);

    return 0;
}