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毕达哥拉斯学派给出的证明。$\color{white}{数学书就有，自己康康叭qwq}$

假设 $\sqrt{2}$ 是有理数，那么存在两个互质的正整数 $p, q$ ，使得

$$\sqrt{2}=\frac{p}{q},$$

于是

$$p=\sqrt{2} q.$$

两边平方得

$$p^{2}=2 q^{2} .$$

由 $2 q^{2}$ 是偶数，可得 $p^{2}$ 是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以 $p$ 也 是偶数。

因此可设 $p=2 s$ ，代入上式，得 $4 s^{2}=2 q^{2}$ ，即

$$q^{2}=2 s^{2}$$

所以 $q$ 也是偶数，这样， $p$ 和 $q$ 都是偶数，不互质，这与假设 $p, q$ 互质矛盾。

这个矛盾说明， $\sqrt{2}$ 不能写成分数的形式，即 $\sqrt{2}$ 不是有理数。实际上， $\sqrt{2}$ 是无限不循环小数。

拓：同样地，如何证明 $\sqrt[3]{2}$ 不是有理数呢?

假设 $\sqrt[3]{2}$ ，那么存在两个互质的正整数 $p, q$ ，使得

$$\sqrt[3]{2}=\frac{p}{q}$$

而

$$\frac{p^{3}}{q^{3}}=2$$

这就与 $p$ 和 $q$ 互质相矛盾，所以假设不成立。

这个矛盾说明， $\sqrt[3]{2}$ 不能写成分数的形式，即 $\sqrt[3]{2}$ 不是有理数。

人教版七下数学书第六章实数 $\text{P58}$.

书中只提到为什么 $\sqrt{2}$ 不是有理数，这个分享中拓展了为什么 $\sqrt[3]{2}$ 不是有理数（课本中留下了这么一个悬念）

$\text{P.S}$ 无理数并非无理，只是不能写成分数的形式而已。

参考文献搞出来了，不要喷我啊啊啊！