网络流问题小结
（可能不太美观，但是一点一点看你会发现都能看懂，整个过程由浅到深非常自然，可以先码再慢慢看，相信对你会有帮助）
问：在给定图中是否存在ｓ－＞ｔ的路径？
这个问题显然很简单，用ｄｆｓ或ｂｆｓ找一条。找到就存在，找不到就不存在。
存在路径时，算法找出一条路径，成功；
不存在路径时，算法失败，不存在路径仅当算法是正确的，但是没有证明过呀。
能不能给一个针对该问题的证明？
如果想证明从ｓ－＞ｔ不存路径，不妨画这样一幅图：

此时，很直观地知道，ｓ－＞ｔ无路径。
不妨先考虑什么叫存在一条从ｓ到ｔ的路径，这个时候，可以把所有以ｓ开头，ｔ结尾，节点所有的排列都写出来
：
因为不考虑节点重复，所以肯定可以写出来。
那么如果存在路径，就说明存在一个序列，其中相邻的两个节点都出现在图的边中，
所谓不存在ｓ－＞ｔ的路径，就说明每个序列中至少存在一对相邻节点不出现在图的边中。
此时分析每一个序列，就可以证明ｓ－＞ｔ没有路径。
但显然这个证明太麻烦，有没有简短的证明？
不妨看看ｄｆｓ或ｂｆｓ在什么时候会返回找不到路径。ｄｆｓ或ｂｆｓ，会从起点开始，不断寻找可以到达的点，所有可达的点会形成一个集合，命名为S，把剩下的节点放入集合T中，当算法失败是，S中不存在向T的连边，否则这将与算法的正确性相违背（从起始节点扩展到所有可以到达的节点），但是允许T到S的边。
这里就引入一个定义：有向图的ST割，所谓的割就是把所有的节点分成两个部分，要求起点ｓ位于S中，终点ｔ位于Ｔ中。
割的大小：S中的点向T中的点连边的个数。
下证：任意一个大小为0的ST割就是找不到路径的证据
对于一幅不存在ｓ－＞ｔ路径的中，同样列出所有以ｓ开头，ｔ结尾节点排列，对于每一个序列，ST割把排列分成的两个部分，其中起点ｓ一定在S中，ｔ一定在T中，所以在每一个序列中一定会存在一对相邻的节点，一个在S中，一个在T中，但因为割的大小为０，即不存在从S到T的连边，所以任意一个序列都可以找到一对相邻节点，它们之间的边并不存在，所以自然无法连通，s自然无法到达t！
证毕！

结论：大小为０的ST割就是“找不到路径”的证据。
之前发现，当算法失败时会产生一个大小为０的ST割，而任意一个大小为0的ST割就是找不到路径的证据，所以说算法失败时路径不存在。

加强，求不止一条路径

前导：
证明：在网络流中割的大小是不相交路径数的上界

先证当割的大小为１时，不存在２条不相交路径。
在当前网络流中，记S={s,a,b,d} , T={c,t}，此时割的大小为1，即只有一条边从S到T，当列出所有从s到t的路径，都至少会经过这个割一次，假设能在左边找到两条不重复的路径，那么把这两条路径穿过割的边找出来，假设这两条边是满足条件不重复的，那么这两条边一定是不同的，这与我们找到的一个大小为１的ｓｔ割相违背，所以不存在大于等于１条不相交路径。（依次类推，３条、４条、５条都一样，所以可以延伸出：当割的大小为１时，不存大于１条不相交路径。）
但是我们只是推出不相交路径小于等于１，当我们找出一个大小为０的割时，

即上图中Ｓ＝｛ｓ，ａ，ｂ，ｃ｝，Ｔ＝｛ｔ｝，且（ｃ，ｔ）边不存在，此时割的大小为０，不相交路径数为０，即（不大于０）。
因此如果看到图中存在大小为１的割，不能就说图中存在一条ｓ到ｔ的路径。

再举个例子，当在图G２中，如果我们写出所有ｓｔ割，割的大小都是不小于２的，
例如令S＝｛ｓ，ａ，ｂ，ｃ｝那么存在３条从S到T的边，继续举例可以发现割的大小都是不小于２的。通过这个例子，以此类推，我们发现割一个很重的性质，即：当我们找到一个大小为ｌ的割，那么其实就是找到了一个从S到T不相交路径的上界。
如果找到一个大小为ｌ的ｓｔ割，那么知道不相交路径数的最大值ｋ＞＝ｌ，如果同时能在图中找到ｍ条不相交的路径，那么此时证明了这个图上至少只有ｍ条，即ｌ＞＝ｍ，当ｌ＝ｍ时，就可以说明不相交路径数的最大值为ｌ。
所以这就给了我们求最大不相交路径数思路，如果能同时找到ｍ条不相交路径数和大小为ｍ的ｓ－ｔ割，那么最大不相交路径数就等于ｍ。（这就是解决网路流问题，以即证明网络流算法正确性的工具），把找到的不相交路径数做为最优解的下界，把割的大小做为最优解的上界，当上界＝下界时，就求出最优解。

有了前导就来证明：
不妨从一个简单直观但是不正确的方法开始，试着求解图中有多少条不相交的路径，思路是能够同时找到不相交路径数是ｍ，并且大小是ｍ的ｓ－ｔ割，那么就求出了最优解。相比较而言，找路径要简单些，因为很容易使用ｄｆｓ或ｂｆｓ在图中找到一条路径，所以不妨设计一个贪心算法，每次在图中找到一条路径，再删掉这条路径上的边，在剩下的图中继续找路，直到找不到路径，但是显示是错误的。因为在这个简单的算法中，找到一条路径并删掉它会阻碍其他的路径选择，　但是如果有一个办法纠正之前犯下的错误，是不是就能解决找最多条不相交路径数的问题呢。答案是肯定的。
这个算法就是Ｆｏｒｄ－Ｆｕｌｋｅｒｓｏｎ算法，这个算法在开始时任意找一条路径，但在之后寻找路径的过程中会不断纠正犯下的错误，那么纠正是这个什么过程呢？不妨用刚刚的例子看看：
假设已经犯了一个错误

此时剩下的图找不到路径了，但是显然不是最优解，此时我们希望纠正成如下所示：

那该对上面的图做怎样的改动呢？不妨把两幅图的差别画出，用红色画出需要加入的边

但是修改并不局限于加入一些边，还应该删除一些犯错误的边，如ｄ－＞ａ边，此时将它标出，红色的边已经在原来的图上形成一条路径，这条路径由两种类型的边组成，一种是新增的边，即原图中的边，此外还可以删除一条原先走过错误的边，这看起来就是逆着原先的方向走了一步。

因此当我们想要构造一个纠正方案时，有如下操作：对于之前没有使用的边就原样保留，此外为了纠正以前犯下的错误，我们可以把之前用过的边的方向反过来， 如下图：

于是可以找到一条路径：ｓ，ａ，ｂ，ｔ，这就可以纠正之前犯下的错误。
此时不妨把纠正路径后的图画出：

此时，在修正后的图中找不到一条从不相交路径了，算法终止。
算法终止意味着，ｄｆｓ／ｂｆｓ算法会返回一个大小为０的割，其中这个割的一部分就是可以从起点到的所有节点，另一部分就是剩下的所有节点，例如此时：
从S出发可以找到以ｓ为割的一部分，剩下的为另一部分。

因为此时不存在从终点到起点的路径，因此这个割的大小一定为０。
但是虽然在这里这个图是不连通的，注意到ａ－＞ｓ、ｄ－＞ｓ这两条边实际上是由已经找到的路径构成的，对应的他们在原来的图中是存在ｓ－＞ａ、ｓ－＞ｄ的两条边，因此只有一个ｓ－ｔ割，在原图中也可以画出来，得到一个大小为２的割，因此我们的算法在纠正犯的错误以后，同时得到２条边不重复的路径，和大小为２的割，此时可以下判断，找到最优解。
而这样纠正的想法就是Ｆｏｒｄ－Ｆｕｌｋｅｒｓｏｎ中的增广路径，刚才通过把已经走过的边反过来，所构造的新图，就是残留网络。Ｆｏｒｄ－Ｆｕｌｋｅｒｓｏｎ就是这样一个贪心算法，它会始终维护一段当前已经找到的路径的集合，在已经找到不相交路径的基础上，构造一个残留网络，这个残留网络由两部分组成，未用过的正向边，和已经用过的反向边，因此既可以使用未使用的边，也可以逆着使用已经使用的边，从而纠正过去犯的错误。这个贪心算法每次都在残留网络上找到一条不相交路径，这条路有可能会顺着未使用的边向前走，也有可能会纠正之前犯的错误，并且相应地更新路径的集合，最后在找不到路径时结束。
这时我们对Ｆｏｒｄ－Ｆｕｌｋｅｒｓｏｎ算法已经由了比较直观的理解，但是为什么我们在残留网络上能找到一条路径，我们就能够找到一条新路径呢？以即我们是不是在找不到路径时，就一定得到了最优解呢？以即找到了一个大小和路径数相同的割呢？这些结论都不是显然的。

接下来来理解一下残留网络，假如已经找到三条互不相交路径路径，P1、P2、P3
画出残留网络中的图，其中s内的点都是起点s，t中的点都是汇点t

这时找到一条从s出发，到t的路径，这条路径可能用到已经被用过的边和未用过的边

那么该如何修正才能加入一条新路径呢？
我们不妨重新把P1、P2、P3按照原来的方向在图上画出来，并且把残留网络中需要修正的边删掉，这时将看到，P1不变，P2、P3被截成两段，然后把刚才求得的路径在这个图上画出，就可以很自然地发现通过修正P2和P3已经得到四条路经

如此往复这个过程，我们可以采用数学归纳法（①当面对一个空图时，能找到一条边，此时显然是不相交的；②当已经有ｋ条边且互不相交时，根据上述操作可以得到第ｋ＋１条边，同样也是互不相交的。），证明我们始终可以维护一个合理路径的集合，这些路径的集合中没有重复的边，直到在残留网络中找不到路径为止。
那么是不是算法终止时求得的路径就是最大值呢？
设最大值是k，当前求得的值是m，显然k>=m，
要想证明k=m，还需证明k<=m
即找出k的上界，此时只要找出一个大小是m的s->t割即可（因为割的值就是不相交路径的上界）。那么该怎么找呢？
很自然的，当残留网络不连通的时候，我们就能找出在残留网络中大小为0的割，不妨把上图的残留网络画出来并假设当有了当前四条路径后，残留网络不再连通，此时回顾残留网络的定义，残留网络中两种类型的边，一种是用已经求得的边反过来得到的（绿色），另一种是不在已有路径，但在原图中（蓝色）。

根据刚才的假设，此时在残留网络上已经找不到不相交路径，因此在残留网络上存在一个大小为0的割，不妨用红色把这个割画出来，

因为割的大小为0，所以一定不存在蓝色的边从S到T的边，而大小为0的割是使用dfs或bfs在找到所有可以从起点到达之后所构成的，因此在这个时候，如果我们考虑残留网络和原图的区别，他们的区别仅仅是所有绿色部分上面的边是取反的，因此如果我们能证图中绿色的边恰好都只穿过TS一次，那么因为原图是由蓝色的边和绿色的边反向构成的，那么我们就在原图中得到了一个大小是4的割。
此时利用反证法可以容易得到，假设有S和T，并且有一条绿色的路径从终点出发，到达起点，并且穿过T－S超过一次，此时发现一条从S连向T的边，这与假设“ST割的大小为0矛盾”，因此证明了bfs或dfs在残留网络上找到了一个大小为0 的割，一定对应了原图上，大小恰好等于路径数量的一个割。
从而我们证明了，在算法终止时，假设有m条路径，我们又恰好得到了一个大小为m的割，因此由上下界共同逼近，我们求得图中不相交路径的最大值。

与此同时我们发现了该算法背后的一个结论：因为任给一个Ｓ－Ｔ割，割的大小都是不相交路径的上界，如果希望用割逼近最大不相交路径的数量，就希望求出所有S－Ｔ割中最小的那个，这才是最合理的估计。因此我们要求的是所有S－Ｔ割中最小的那个。
而希望逼近的是若干个路径的集合，使得路径之间没有公共边，并且路径数最大，在这里我们用该算法同时找到了ｍ条路径和大小为ｍ的割，因此证明了整个图当中，最小的割就等于数量最大的路径数，这就是最大流最小割问题的离散版本。

总的来说就是先利用反向边、增广路径求出一个不相交路径数ｍ（下界），然后通过反证法证得最终残留网络会对应一个原图中大小为ｍ的割（上界）。上界等于下界，ｍ就是最优解。

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如果边带上了权值，那么不妨把边权是５的边，拆成５条没有边权的边。
例如在下图中，我们可以构造一个与之等价的没有权值的图，运行节点之间存在重边，此时从ｓ－＞ａ就有２０条边，ａ－＞ｂ有５条边，以此类推。

此时同样可以求从ｓ点到ｔ不相交路径数。如果考虑把每一条边拆开后得到的若干条路径重新画在图上，例如求得的两组从ｓ－＞ｔ的路径当中，共有１５条，不妨把这５条路径经过这些边的次数写在边上，如下图：　　

转化成成了流的概念，所谓流网络，就是一个有ｓ点原点、ｔ点汇点的带权有向图。
把边上的权值成为其容量，用字母C表示。如果想要直观的理解容量这个概念，不妨把容量想象成穿过这条边路径的数量，例如在当前的网络当中，有５条路径经过ａ－＞ｂ，由于ａ－＞ｂ的容量是５，就不允许更多的路径穿过它。
因此不妨在这样一个流网络上把所有的路径都写出来，例如：

原则上可以写出所有从ｓ到ｔ的简单路径，如果希望求出尽可能多的从ｓ到ｔ的简单路径，并且同时不超过每一条边上的容量限制，那么此时可以为每一条路径设置一个变量，例如：

此时可以用一个线性的不等式组来解决刚才的问题，具体来说我们希望求出最多可能容纳的路径，即最大化（ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋．．．ｘｎ），对于任何一条边，不希望经过它的路径数超过容量，例如对于ｓ－＞ａ这条边，希望（包括ｓ－＞ａ这条边的路径前的变量相加）ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋．．．＜＝２０，依次类推列出所有边的约数条件，并且ｘｉ＞＝０。此时得到网络流问题的一个线性表示，这就是一个线性规划。
但这有什么用吗，因为我们都知道，一个有向图当中，我们可能存在指数多条路径，所哟即使对一个数百数千节点这样的中小规模的图问题，此时列出不等式的数量都将非常巨大，那有什么用呢？
之际上这才是网络流问题的一个原始表达，这个概念刻画了什么是网络当中的流，也就是在容量限制之下，我们对路径进行叠加，以试图找出尽可能多的ｓ点到ｔ点不相交路径，这样一个原始的线性规划，虽然规模难以求解，但是可以帮助我们在接下来分析网络流的性质，此外，大家熟知的网络流问题，其实是对这样一个线性规划的简化，它放松了一个流网络是由路径组成的条件，而是不仅允许网络由路径组成，而且还允许存在环流，接下来看看大家所熟知的网络流定义，同样看下图：

此时，不再用ｓ到ｔ的路径来表示流，而是给每一条边假设一个变量，这个变量代表穿过这条边路径的数量，此时有一个非常重要的关卡，例如对于一条路径：ｓ－＞ａ－＞ｃ－＞ｄ－＞ｔ，除了起点和汇点，其它点都是进入一次出去一次，这样的性质对于所有的路径都成立，因此无论有多少条路径从ｓ到ｔ，对于任意一个点来说，这些路径叠加以后，进入这个点的次数＝离开这个点的次数。
，每一条边经过的次数为这条边上的流量，用字母ｆ表示，例如ｂ－＞ｔ这条边的流量记为ｆ（ｂ，ｔ）。因此，一个合法路径的叠加的必要条件就是：除了源点和汇点，所有其他点输入的数量要等与输出的数量，即所有入边流量和＝出边流量和，例如：
ｆ（ｓ，ａ）＝ｆ（ａ，ｂ）＋ｆ（ａ，ｃ）
ｆ（ａ，ｂ）＋ｆ（ｄ，ｂ）＝ｆ（ｂ，ｃ）＋ｆ（ｂ，ｔ）．．．以此类推
此时可证明，在满足这样约束条件下，从ｓ点流出的所有流量和＝流入ｔ点的流量和，因此如果求出尽可能求出ｓ到ｔ的路径，就希望最大化从ｓ流出的所有边上的流量和，　　即：ｆ（ｓ，ａ）＋ｆ（ｓ，ｃ），此时也可写出一个线性规划：
ｍａｘ＝ｆ（ｓ，ａ）＋ｆ（ｓ，ｃ）
ｆ（ｓ，ａ）＝ｆ（ａ，ｂ）＋ｆ（ａ，ｃ）
ｆ（ａ，ｂ）＋ｆ（ｄ，ｂ）＝ｆ（ｂ，ｃ）＋ｆ（ｂ，ｔ）．．．以此类推
但是此时的线性规划就比之前的简单多了，变量数等于图中的边数，方程数等于点数减一。
最后讲一下，网络流的原始表达还有一个结论：这个线性规划体现了网络最大流的值观含义，也就是把最大流想象成路径的叠加，并且叠加的路径不超过容量上限。而线性规划里的理论当中有一一个非常有趣的理论是对偶理论，我们总是可以针对某一个线性规划，写出一个和它的最优值完全相同的线性规划，我们只需要知道，在这个问题的线性规划中，我们不再为每一条路径设置变量，而是为每一个约束条件设置变量，

这次，从最简单的模型：证明图中路径是否存在入手，引入了割的概念，并且借助起点到终点最多多少条互不相交路径的条数引入了流，然后很细致地探寻了这样一个简化的问题上Ｆｏｒｄ－Ｆｕｌｋｅｒｓｏｎ算法怎么样证明一个最大流和最小割定理，最后给了网络流问题一个比较严谨的定义，