# **【学习笔记】数论、数学—常见定理、结论、性质汇总**
欢迎补充(*^▽^*)
## **〇:【不知道放哪儿好的内容】**
### **1.【和式】**
#### **【推导结论】**
- ∑ni=1i=n(n+1)2
- ∑ni=1i2=n(n+1)(2n+1)6
- ∑ni=1i3=(n(n+1)2)2
### **2.【下降幂、上升幂】**
#### **【基本性质、定理】**
- xn_=(x−1)n−1_x=(x)!(x−n)!=∏xi=x−n+1i (x0_=1)
- x¯n=(x+1)¯n−1x=(x+n−1)!(x−1)!=∏x+n−1i=xi (x¯0=1)
#### **【推导结论】**
- xn_=(−1)n(−x)¯n
- x¯n=(−1)n(−x)n_
- xn_=Anx
- x¯n=Anx+n−1
### **3.【三角函数】**
#### **【基本性质、定理】**
##### **(1).【函数基本关系】**
- tanα=sinαcosα
- cotα=cosαsinα
- sinαcscα=1
- cosαsecα=1
- tanαcotα=1
- sin2α+cos2α=1
- sec2α−tan2α=1
- csc2α−cot2α=1
##### **(2).【秀导公式】**
- sin(−α)=−sinα
- cos(−α)=cosα
- tan(−α)=−tanα
- cot(−α)=−cotα
- sin(π+α)=−sinα
- cos(π+α)=−cosα
- tan(π+α)=tanα
- cot(π+α)=cotα
- sin(π−α)=sinα
- cos(π−α)=−cosα
- tan(π−α)=−tanα
- cot(π−α)=−cotα
- sin(12π−α)=cosα
- cos(12π−α)=sinα
- tan(12π−α)=cotα
- cot(12π−α)=tanα
##### **(3).【和角公式】**
- sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
- sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
- cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
- cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
- tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ
- tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ
##### **(4).【积化和差】**
(同 cos 异 sin,sin sin 负负)
- cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α−β)]
- sinαsinβ=−12[cos(α+β)−cos(α−β)]
- sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(α−β)]
- cosαsinβ=12[sin(α+β)−sin(α−β)]
##### **(5).【和差化积】**
- sinα+sinβ=2sin(α+β2)cos(α−β2)
- cosα+cosβ=2cos(α+β2)cos(α−β2)
- sinα−sinβ=2cos(α+β2)sin(α−β2)
- cosα−cosβ=−2sin(α+β2)sin(α−β2)
- tanα+tanβ=sin(α+β)cosαcosβ
##### **(6).【倍角公式】**
- sin2α=2sinαcosα
- cos2α=cos2α−sin2α=2cos2α−1=1−2sin2α
- tan2α=2tanα1−tan2α
##### **(7).【半角公式】**
- sinα2=±√1−cosα2
- cosα2=±√1+cosα2
- tanα2=±√1−cosα1+cosα
- tanα2=1−cosαsinα=sinα1+cosα
##### **(8).【万能公式】**
- sinα=2tanα21+tan2α2
- cosα=1−tan2α21+tan2α2
- tanα=2tanα21−tan2α2
##### **(9).【正弦定理、余弦定理】**
- asinA=bsinB=csinC=2R(其中 R 为 ΔABC 外接圆半径)
- cosA=b2+c2−a22bc
- cosB=a2+c2−b22ac
- cosC=a2+b2−c22ab
##### **(10).【常见反三角函数】**
- arcsinα+arccosα=π2
### **4.【单位根】**
#### **【基本性质、定理】**
- ωkn=cos(2πkn)+sin(2πkn)i
- \omega_{n}^{k}=g^{\frac{k(P-1)}{n}}\mod P (P=k2^{t}+1,P\in \{Prime\})
#### **【推导结论】**
- \omega_{n}^{k}=(\omega_{n}^{1})^{k}
- \omega_{n}^{j}\omega_{n}^{k}=\omega_{n}^{j+k}
- \omega_{2n}^{2k}=\omega_{n}^{k}
- \omega_{n}^{(k+n/2)}=-\omega_{n}^{k} (n 为偶数 )
- \sum_{i=1}^{n-1}\omega_{n}^{i}=0
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## **一:【基本数论、数学知识】**
### **1.【斐波那契数列(Fibonacci)】**
#### **【基本性质、定理】**
- fib_{n}=\begin{cases}0&n=0\\ 1&n=1\\ fib_{n-1}+fib_{n-2}&n>1\end{cases} [【模板】](https://www.luogu.com.cn/problem/P1962)
#### **【推导结论】**
- \sum_{i=1}^{n}{f_{i}}=f_{n+2}-1
- \sum_{i=1}^{n}{f_{2i-1}}=f_{2n}
- \sum_{i=1}^{n}{f_{2i}}=f_{2n+1}-1
- \sum_{i=1}^{n}{(f_{n})^2}=f_{n}f_{n+1}
- f_{n+m}=f_{n-1}f_{m-1}+f_{n}f_{m}
- (f_{n})^2=(-1)^{(n-1)}+f_{n-1}f_{n+1}
- f_{2n-1}=(f_{n})^2-(f_{n-2})^2
- f_{n}=\frac{f_{n+2}+f_{n-2}}{3}
- \frac{f_{i}}{f_{i-1}} \approx \frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0.618
- f_{n}=\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}}{\sqrt{5}} [【证明】](https://www.luogu.com.cn/blog/lx-2003/generating-function)
### **2.【最大公约数(GCD)和最小公倍数(LCM)】**
#### **【基本性质、定理】**
- \gcd(a,b)=\gcd(b,a-b) (a>b)
- \gcd(a,b)=\gcd(b,a \mod b)
- \gcd(a,b)\operatorname{lcm}(a,b)=ab
#### **【推导结论】**
- k | \gcd(a,b) \iff k|a 且 k|b
- \gcd(k,ab)=1 \iff \gcd(k,a)=1 且 \gcd(k,b)=1
- (a+b)\mid ab\Longrightarrow \gcd(a,b)\neq 1 [【例题】](https://www.luogu.com.cn/problem/P4466)
- 在 Fibonacc 数列中求相邻两项的 \gcd 时,**辗转相减**次数等于**辗转相除**次数。
- \gcd\left(fib_{n},fib_{m}\right)=fib_{\gcd(n,m)} [【证明】](https://blog.csdn.net/alan_cty/article/details/73928751)
### **3.【裴蜀(Bézout)定理】**
#### **【基本性质、定理】**
- 设 a,b 是不全为零的整数,则存在整数 x,y , 使得 ax+by=\gcd(a,b)
- \gcd(a,b)|d \iff \exists x,y\in\mathbb{Z},ax+by=d
#### **【推导结论】**
- 设不定方程 ax+by=\gcd(a,b) 的一组特解为 \begin{cases}x=x_0\\ y=y_0\end{cases},则 ax+by=c (\gcd(a,b)|c) 的通解为 \begin{cases}x=\frac{c}{\gcd(a,b)}x_0+k\frac{b}{\gcd(a,b)}\\ y=\frac{c}{\gcd(a,b)}y_0-k\frac{a}{\gcd(a,b)}\end{cases}(k\in\mathbb{Z}) 。[【模板】](https://www.luogu.com.cn/problem/P5656)
- \forall a,b,z\in\mathbb{N^{*}},\gcd(a,b)=1, \exists x,y\in\mathbb{N^{}}, ax+by=ab-a-b+z [【例题】](https://www.luogu.com.cn/problem/P3951)
### **4.【欧拉函数】**
#### **【基本性质、定理】**
- \varphi(x)=x\prod_{i=1}^{n}(1-\frac{1}{p_{i}}), 其中 p_i 为 x 的质因子,n 为 x 的质因子个数
- \gcd(a,b)=1\Longrightarrow \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)(欧拉函数是积性函数)
#### **【推导结论】**
- p>2 \Longrightarrow [\varphi(p)\mod 2=0]
- p\in\{Prime\} \Longrightarrow \varphi(p^{k})=p^{k}-p^{k-1}
- \sum_{i=1}^{n}i[gcd(i,n)=1]=\frac{n\varphi(n)+[n=1]}{2} [【例题】](https://www.luogu.com.cn/problem/SP5971)
- f(n)=\sum_{i=1}^{n}[\gcd(i,k)=1]=\frac{n}{k}\varphi(k)+f(n\mod k)
### **5.【同余运算】**
#### **【基本性质、定理】**
- \begin{cases}a\equiv b(\bmod m)\\ c\equiv d(\bmod m)\end{cases}\Longrightarrow a+c\equiv b+d(\bmod m)
- \begin{cases}a\equiv b(\bmod m)\\ c\equiv d(\bmod m)\end{cases}\Longrightarrow a-c\equiv b-d(\bmod m)
- a\equiv b(\bmod m)\Longrightarrow ak\equiv bk(\bmod m)
- ka\equiv kb(\bmod m),\gcd(k,m)=1\Longrightarrow a\equiv b(\bmod m)
### **6.【费马小定理及其扩展】**
#### **【基本性质、定理】**
- P\in\{Prime\},P\nmid a\Longrightarrow a^{P-1}=1(\bmod P)
#### **【推导结论】**
- 对于任意多项式 F(x)=\sum_{i=0}^{\infty}a_i x^i(a_i 对一个质数 P 取模),若满足 a_{0}\equiv 1(\bmod P),则 \forall n\leqslant P,F^{P}(x)\equiv 1(\bmod x^{n}) 。[【例题】](https://www.luogu.com.cn/problem/P5245)
### **7.【欧拉定理及其扩展】**
#### **【基本性质、定理】**
- \gcd(a,m)=1\Longrightarrow a^{\varphi(m)}\equiv 1(\bmod m)
- \gcd(a,m)=1\Longrightarrow a^{b} \equiv a^{b\mod \varphi(m)}(\bmod m)
- b>\varphi(m)\Longrightarrow a^{b} \equiv a^{b\mod \varphi(m)+\varphi(m)}(\bmod m) [【例题】](https://www.luogu.com.cn/problem/P5091)
#### **【推导结论】**
- \exists x\in N^{*},a^x=1(\bmod m) \iff \gcd(a,m)=1 [【证明】](https://www.cnblogs.com/Xing-Ling/p/13219900.html) [【例题】](https://www.luogu.com.cn/problem/P1587)
### **8.【孙子定理/中国剩余定理(CRT)及其扩展】**
#### **【基本性质、定理】**
- 若 m_1,m_2...m_k 两两互素,则同余方程组 \begin{cases}x\equiv a_{1}\left(\bmod m_{1}\right)\\ x\equiv a_{2}\left(\bmod m_{2}\right)\\ \vdots\\ x\equiv a_{k}\left(\bmod m_{k}\right)\end{cases} 有唯一解为:x=\sum_{i=1}^{k}a_iM_iM_i^{-1}, 其中 M_i=\prod_{j\neq i}m_j 。[【模板】](https://www.luogu.com.cn/problem/P1495)
### **9.【佩尔(Pell)方程】**
#### **【基本性质、定理】**
- 形如 x^2-Dy^x=1 (D\in\mathbb{N^{*}}\text{且为非平方数}) 的方程被称为第一类佩尔方程。设它的一组最小正整数解为 \begin{cases}x=x_0\\ y=y_0\end{cases}, 则其第 n 个解满足:x_n+\sqrt{D}y_n=(x_0+\sqrt{D}y_0)^{n+1}, 递推式为 \begin{cases}x_n=x_0x_{n-1}+Dy_0y_{n-1}\\ y_n=x_0y_{n-1}+y_0x_{n-1}\end{cases} 。[【例题】](https://www.luogu.com.cn/problem/UVA138)
- 形如 x^2-Dy^x=-1 (D\in\mathbb{N^{*}}\text{且为非平方数}) 的方程被称为第二类佩尔方程。设它的一组最小正整数解为 \begin{cases}x=x_0\\ y=y_0\end{cases}, 则其第 n 个解满足:x_n+\sqrt{D}y_n=(x_0+\sqrt{D}y_0)^{2n+1} 。递推式略。
### **10.【勾股方程/勾股数组】**
#### **【基本性质、定理】**
- 方程 x^2+y^2=z^2 的正整数通解为 \begin{cases}x=k(u^2-v^2)\\ y=2kuv\\ z=k(u^2+v^2)\end{cases}(u,v\in\{Prime\},k\in\mathbb{N^{*}}), 且均满足 \gcd(x,y,z)=k 。
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## **二:【组合数学】**
### **1.【排列与组合数】**
#### **【基本性质、定理】**
- A_{n}^{m}=\frac{n!}{(n-m)!}【排列】
- C_{n}^{m}=\frac{A_{n}^{m}}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}【组合】
- C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}【对称公式】
- C_{n}^{m}=C_{n-1}^{m}+C_{n-1}^{m-1}【加法公式】
- C_{n}^{m}=\frac{n}{m}C_{n-1}^{m-1}【吸收公式】
- C_{n}^{m}=(-1)^{m}C_{m-n-1}^{m}【上指标反转】
- \sum_{i=0}^{m}C_{n+i}^{i}=C_{n+m+1}^{m}【平移求和】
- \sum_{i=0}^{k}C_{n}^{i}C_{m}^{k-i}=C_{n+m}^{k}【范德蒙德卷积】
- C_{n}^{k}C_{k}^{m}=C_{n}^{m}C_{n-m}^{k-m}
#### **【推导结论】**
- ij=C_{i+j}^{2}-C_{i}^{2}-C_{j}^{2}
- \sum_{i=0}^{n}C_{n-i}^{i}=fib_{n+1}
- \sum_{i=0}^{n}C_{i}^{m}=C_{n+1}^{m+1}(平移求和)
- \sum_{i=0}^{n}(C_{n}^{i})^{2}=C_{2n}^{n}(范德蒙德卷积)
- \sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}C_{n}^{i}C_{i}^{m}=[m=n](可用其证明二项式反演)
- \sum_{i=0}^{n}(-1)^{i-m}C_{n}^{i}C_{i}^{m}=[m=n](可用其证明二项式反演)
### **2.【卢卡斯定理】**
#### **【基本性质、定理】**
- C_{n}^{m}=C_{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}^{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor}C_{n\mod p}^{m\mod p} (p\in\{Prime\}) [【模板】](https://www.luogu.com.cn/problem/P3807)
### **3.【库默尔定理】**
#### **【基本性质、定理】**
- \forall m,n\in\{\mathbb{Z}\},P\in\{Prime\}, C_{m+n}^m 含 P 的幂次等于 m+n 在 P 进制下的进位次数。[【例](https://www.luogu.com.cn/problem/CF582D) [题】](http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#problemId=1569)
### **4.【牛顿二项式定理】**
#### **【基本性质、定理】**
- (x+y)^{n}=\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}x^{n-i}y^i
#### **【推导结论】**
- \sum_{i=0}^{n}C_n^{i}=2^n
- \sum_{i=0}^{n}iC_n^{i}=n2^{n-1}
- \sum_{i=0}^{n}i^2C_n^{i}=n(n+1)2^{n-1}
### **5.【广义牛顿二项式定理】**
#### **【基本性质、定理】**
- C_{r}^{n}=\begin{cases}0&n<0,r\in\mathbb{R}\\ 1&n=0,r\in\mathbb{R}\\ \frac{r(r-1)\cdots(r-n+1)}{n!}&n>0,r\in\mathbb{R}\end{cases}
- (1+x)^{-n}=\sum_{i=0}^{\infty}C_{-n}^{i}x^{i}=\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^iC_{n+i-1}^{i}x^i
- (x+y)^{\alpha}=\sum_{i=0}^{\infty}C_{\alpha}^{i}x^{\alpha-i}y^i (x,y,\alpha\in\mathbb{R}\ \text{且}\ |\frac{x}{y}|<1) [【证明】](https://www.cnblogs.com/Asika3912333/p/11406614.html)
### **6.【卡特兰数 (Catalan)】**
#### **【基本性质、定理】**
- cat_{n}=\begin{cases}1&n=0\\ \sum_{i=0}^{n-1}cat_{i}cat_{n-i-1}&n>0\end{cases} [【模板 1】](https://www.luogu.com.cn/problem/P3200) [【模板 2】](https://www.luogu.com.cn/problem/P2532)
#### **【推导结论】**
- cat_{n}=C_{2n}^n-C_{2n}^{n+1}=\frac{C_{2n}^{n}}{n+1} [【感性理解】](https://www.cnblogs.com/silentEAG/p/10439166.html) [【生成函数严格证明】](https://www.luogu.com.cn/blog/lx-2003/generating-function)
### **7.【斯特林数 (Stirling)】**
#### **【基本性质、定理】**
- s_{n}^{m}=s_{n-1}^{m-1}+(n-1)s_{n-1}^{m} (s_{n}^{n}=1,s_{n}^{0}=0^{n})【第一类斯特林数】
- S_{n}^{m}=S_{n-1}^{m-1}+mS_{n-1}^{m} (S_{n}^{n}=1,S_{n}^{0}=0^{n})【第二类斯特林数】[【模板】](https://www.luogu.com.cn/problem/CF568B) [【例题】](https://www.luogu.com.cn/problem/P6620)
- S_{n}^{m}=\frac{\sum_{i=0}^{m}(-1)^{m-i}C_{m}^{i}i^{n}}{m!}=\sum_{i=0}^{m} \frac{(-1)^{m-i}}{(m-i)!}\frac{i^{n}}{i !} [【模板】](https://www.luogu.com.cn/problem/P5395)
#### **【推导结论】**
- n!=\sum_{i=0}^{n}s_{n}^{i}
- x^{\overline{n}}=\sum_{i=0}^{n}s_{n}^{i}x^i
- x^{\underline{n}}=\sum_{i=0}^{n}s_{n}^{i}x^i(-1)^{n-i}
- x^n=\sum_{i=0}^{x,n}S_{n}^{i}x^{\underline{i}}
- x^{n}=\sum_{i=0}^{x,n}S_{n}^{i}x^{\overline{i}}(-1)^{n-i}
- \sum_{i=1}^{n}S_{n}^{i}s_{i}^{m}=\sum_{i=0}^{n}s_{n}^{i}S_{i}^{m}
- \sum_{i=0}^{n} i^{k}=\sum_{j=0}^{n}j!S_{k}^{j}C_{n+1}^{j+1}
- \sum_{i=1}^{n}C_{n}^{i}i^{k}=\sum_{j=0}^{k} S_{k}^{j}2^{n-j}\frac{n!}{(n-j)!} [【例题】](https://www.luogu.com.cn/problem/CF932E)
### **8.【贝尔数 (Bell)】**
#### **【基本性质、定理】**
- B_n=\sum_{i=1}^{n}S_{n}^{i} (B_0=1) [【模板】](https://www.luogu.com.cn/problem/CF568B)
- B_{n}=\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^{i}B_{i} [【模板】](https://www.luogu.com.cn/problem/CF568B)
### **9.【Polya 定理】**
#### **【基本性质、定理】**
- ans=\frac{\sum_{i=1}^{n}m^{k_{i}}}{n} [【理解】](https://oldcat.huix.cc/2020/03/polya.html)
### **10.【经典容斥原理】**
#### **【推导结论】**
- f(i)=\sum\limits_{j=i}^{n}(-1)^{j-i}C_{j}^{i}g(j) =g(i)-\sum\limits_{j=i+1}C_{j}^{i}f(j)(f(i) 为恰好 i 个满足"balabala"的方案数,g(i) 为钦定 i 个满足"balabala“其他随意的方案数)[【例题】](https://www.luogu.com.cn/problem/P3298) [【例题】](https://www.luogu.com.cn/problem/P4859) [【例题】](https://www.luogu.com.cn/problem/P4491) [【例题】](https://www.luogu.com.cn/problem/P6478)
### **11.【生成函数】**
#### **【推导结论】**
##### **(1).【常用普通生成函数 (OGF) 收敛性式】**
- \sum_{i=0}^{\infty}x^i=\frac{1}{1-x}
- \sum_{i=0}^{\infty}a^ix^i=\frac{1}{1-ax}
- \sum_{i=0}^{\infty}(i+1)x^i=\frac{1}{(1-x)^2}
- \sum_{i=0}^{\infty}C_{n}^{i}x^i=(1+x)^n
- \sum_{i=0}^{\infty}C_{n+i-1}^{i}x^i=\frac{1}{(1-x)^n}
- \sum_{i=0}^{\infty}fib_{i}x^i=\frac{x}{1-x-x^2}(斐波那契数)
- \sum_{i=0}^{\infty}(\sum_{j=0}^{i}fib_{j})x^i=\frac{x}{(1-x)(1-x-x^2)}(斐波那契数列前缀和)
- \sum_{i=0}^{\infty}cat_{i}x^i=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}(卡特兰数)
##### **(2).【常用指数生成函数 (EGF) 收敛性式】**
- \sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!}=e^x
- \sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{2i}}{(2i)!}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}
- \sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}
- \sum_{i=0}^{\infty}B_{i}\frac{x_{i}}{i!}=e^{e^{x}-1}(贝尔数)
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## **三:【各种反演】**
### **1.【欧拉反演】**
#### **【基本性质、定理】**
- \sum_{d|n}\varphi(d)=n (即 \varphi\ast 1=\operatorname{id}) [【证明】](https://www.cnblogs.com/Xing-Ling/p/11988194.html)
#### **【推导结论】**
- \gcd(i,j)=\sum_{d|i,d|j} \varphi(d)
- \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \gcd(i,j)= \sum_{d=1}^{n}d\left(2\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}{\varphi(i)}-1\right) [【例题(9 倍经验)】](https://www.luogu.com.cn/discuss/show/167756)
- \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \gcd(i,j)= \sum_{d=1}^{n} \varphi(d) \lfloor\frac{n}{d}\rfloor \lfloor\frac{m}{d}\rfloor [【例题】](https://www.luogu.com.cn/problem/P2398)
- \prod_{i=1}^{n} \prod_{j=1}^{n} \left(\frac{\operatorname{lcm}(i,j)}{\gcd(i,j)}\right)= \frac{(n!)^{2n}}{\left(\prod_{d=1}^{n} d^{\left(2 S_{\varphi}(\lfloor\frac{n}{a}\rfloor)-1\right)}\right)^{2}} [【例题】](https://www.luogu.com.cn/problem/P5221)
### **2.【狄利克雷卷积 (Dirichlet) 与莫比乌斯反演 (Mobius) 】**
#### **【基本性质、定理】**
- (f \ast g)(n)=\sum_{d | n} f(d) g(\frac{n}{d})=
- \sum_{d|n} \mu(d)=\epsilon(n) (即 \mu\ast1=\epsilon)
- f(n)=\sum_{d | n} g(d) \Longrightarrow g(n)=\sum_{d | n} \mu(\frac{n}{d}) f(d) (即 f=g\ast1 \Longrightarrow g=f\ast\mu)
- f(n)=\sum_{n | d} g(d) \Longrightarrow g(n)=\sum_{n | d} \mu(\frac{d}{n}) f(d)
- f(k)=\sum_{d=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor} g(dk) \Longrightarrow g(k)=\sum_{d=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor} \mu(d) f(dk)
#### **【推导结论】**
##### **(1).【GCD 和 LCM】**
- [\gcd(i,j)=1]=\sum_{d|i,d|j} \mu(d)
- \sum_{i=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}[\gcd(i,j)=k]= \sum_{d=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor} \mu(d)\lfloor\frac{n}{d k}\rfloor\lfloor\frac{m}{d k}\rfloor [【例题】](https://www.luogu.com.cn/problem/P3455)
- \sum_{i=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}[\gcd(i,j)\in \{Prime\}]= \sum_{d=1}^{n}\left(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\lfloor\frac{m}{d}\rfloor\sum_{p | d\ \&\ p\in\{Prime\}} \mu(\frac{d}{p})\right) [【例题】](https://www.luogu.com.cn/problem/P2257)
- \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \operatorname{lcm}(i,j)= \sum_{d=1}^{n} d\left(\sum_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor} x^{2} \mu(x) \sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{dx}\rfloor} i\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{m}{dx}\rfloor} j \right) [【例题】](https://www.luogu.com.cn/problem/P1829)
##### **(2).【除数函数】**
- \sigma_{k}=\sum_{d|n}d^{k}(即 \sigma_{k}=\operatorname{id}_{k}\ast1)
- \sigma_0(xy)=\sum_{i|x} \sum_{j|y}[\operatorname{gcd}(i,j)=1](其中 \sigma_0(x) 表示 x 的约数个数)
- \sum_{i=1}^{n}\sigma_0(i)= \sum_{i=1}^{n}\lfloor\frac{n}{i}\rfloor [【例题】](https://www.luogu.com.cn/problem/P3935)
- \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \sigma_0(ij)= \sum_{k=1}^{n}\mu(k)\left(\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\lfloor{\frac{n}{ik}}\rfloor\right)\left(\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{m}{k}\rfloor}\lfloor\frac{m}{i k}\rfloor\right) [【例题】](https://www.luogu.com.cn/problem/P3327)
- \sigma_{1}(xy)=\sum_{i\mid x}\sum_{j\mid y} \frac{iy}{j}[\gcd(i,j)=1](其中 \sigma_0(x) 表示 x 的约数和)
- \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sigma_1(ij)= \sum_{d=1}^{n}\mu(d)d \left(\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor} \sigma_1(i)\right)^{2} [【例题】](http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#problemId=1220)
- \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} \sigma_1(\gcd(i,j))= \sum_{d=1}^{n}\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\lfloor\frac{m}{d}\rfloor\left(\sum_{i|d}\mu(\frac{d}{i}) \sigma_1(i)\right) [【例题】](https://www.luogu.com.cn/problem/P3312)
##### **(3).【莫比乌斯函数】**
- \sum_{k=1}^{n}\mu^{2}(k)=\sum_{d=1}^{\sqrt{n}}\mu(d)\lfloor \frac{n}{d^{2}}\rfloor [【例题】](https://www.luogu.com.cn/problem/P4318)
- \sum_{i=1}^{n}\mu^2(i)\sqrt{\frac{n}{i}}=n [【证明】](https://www.cnblogs.com/Xing-Ling/p/12760629.html)
### **3.【二项式反演】**
#### **【基本性质、定理】**
- f(n)=\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}g(i) \Longleftrightarrow g(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}C_{n}^{i}f(i)
- f(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{i}C_{n}^{i}g(i)\Longleftrightarrow g(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{i}C_{n}^{i}f(i)
- f(n)=\sum_{i=n}^{?}C_{i}^{n}g(i) \Longleftrightarrow g(n)=\sum_{i=n}^{?}(-1)^{i-n}C_{i}^{n}f(i) [【例题】](https://www.luogu.com.cn/problem/P4491) [【例题】](https://www.luogu.com.cn/problem/P6478)
- f(n)=\sum_{i=n}^{?}(-1)^{i}C_{i}^{n}g(i)\Longleftrightarrow g(n)=\sum_{i=n}^{?}(-1)^{i}C_{i}^{n}f(i)
- f(n,m)=\sum\limits_{i=0}^{n}\sum\limits_{j=0}^{m}C_{n}^{i}C_{m}^{j}g(i,j) \Longleftrightarrow g(n,m)=\sum\limits_{i=0}^{n}\sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^{n+m-i-j}C_{n}^{i}C_{m}^{j}f(i,j)
- f(n,m)=\sum\limits_{i=0}^{n}\sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^{i+j}C_{n}^{i}C_{m}^{j}g(i,j) \Longleftrightarrow g(n,m)=\sum\limits_{i=0}^{n}\sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^{i+j}C_{n}^{i}C_{m}^{j}f(i,j)
- f(n,m)=\sum\limits_{i=n}^{?}\sum\limits_{j=m}^{?}C_{i}^{n}C_{j}^{m}g(i,j) \Longleftrightarrow g(n,m)=\sum\limits_{i=n}^{?}\sum\limits_{j=m}^{?}(-1)^{i+j-n-m}C_{i}^{n}C_{j}^{m}f(i,j) [【例题】](https://www.luogu.com.cn/problem/CF1228E) [【例题】](https://www.luogu.com.cn/problem/CF997C)
- f(n,m)=\sum\limits_{i=n}^{?}\sum\limits_{j=m}^{?}(-1)^{i+j}C_{i}^{n}C_{j}^{m}g(i,j) \Longleftrightarrow g(n,m)=\sum\limits_{i=n}^{?}\sum\limits_{j=m}^{?}(-1)^{i+j}C_{i}^{n}C_{j}^{m}f(i,j)
### **4.【斯特林反演】**
#### **【基本性质、定理】**
- f(n)=\sum_{i=0}^{n} S_{n}^{i} g(i) \Longleftrightarrow g(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i} s_{n}^{i} g(i)
- f(n)=\sum_{i=0}^{n}s_{n}^{i}g(i)\Longleftrightarrow g(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}S_{n}^{i}f(i)
- f(n)=\sum_{i=n}^{?} S_{i}^{n} g(i) \Longleftrightarrow g(n)=\sum_{i=n}^{?}(-1)^{i-n} s_{i}^{n} g(i)
- f(n)=\sum_{i=n}^{?}s_{i}^{n}g(i)\Longleftrightarrow g(n)=\sum_{i=n}^{?}(-1)^{i-n}S_{i}^{n}f(i)
### **5.【单位根反演】**
#### **【基本性质、定理】**
- [n|k]=\frac{\sum_{i=0}^{n-1}w_{n}^{ik}}{n}
- $[a=b]=\frac{\sum_{i=0}^{n-1} w_{n}^{a i} w_{n}^{-i b}}{n}(a,b
问个啥问题, “反演”是什么意思? 这不是计算几何里的一个术语吗? 谢谢!
Orz
太强啦
秀导公式 好秀啊
【秀导公式】这不是诱导吗/kk
orz