唯一分解定理2
对于任意的正整数n都有:
n=pa11pa22⋅⋅⋅pass
提出两个问题:
- n有多少个正因子?
- n的所有正因子和是多少?
因子个数
d(n):表示n的所有正因子个数。
n=pa11pa22⋅⋅⋅pass
对于n的任何一个因子(记为:t)都整除n,而根据唯一分解定理我们可以将t也分解。
t=pb11pb22⋅⋅⋅pbss
此时因为t是小于等于n的,所以bi≤ai。则每一个bi有ai+1种取法。根据乘法原理:
d(n)=(a1+1)⋅(a2+1)⋅⋅⋅(as+1)
因子和
ϕ(n):表示n的所有正因子之和。
n=pa11pa22⋅⋅⋅pass
为了方便:设n=pa11⋅pa22
对于因子:
当a1=0,a2可以选择0,1,2,⋅⋅⋅,a2
a1=1,
…
a1=a1
t=pa11∗pa22
a1=0 因子和有: p01∗(p02+p12+…+pa22)
a1=1因子和有:p11∗(p02+p12+…+pa22)
…
a1=a1因子和有:pa11∗(p02+p12+…+pa22)
全部加起来可以得到
ϕ(n)=(p01+p11+…+pa11)∗(p02+p12+…+pa22)
根据等比数列求和公式
ϕ(n)=pa1+11−11−p1∗pa2+12−11−p2
以此类推当n=pa11pa22⋅⋅⋅pass。
ϕ(n)=pa1+11−11−p1∗⋅⋅⋅∗pas+1s−11−ps
推广:
分块
n≤1e9
n∑i=1d(i)
n∑i=1ϕ(i)
哇质因数知识原来在这里啊,先收藏下。
嘤嘤嘤