1. 欧几里得算法

求两个正整数的最大公约数，时间复杂度 $O(logn)$。

C++ 代码

int gcd(int a, int b)
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

2. 扩展欧几里得算法

裴蜀定理：若 $a,b$ 是整数,且 $(a,b)=d$，那么对于任意的整数 $x,y,ax+by$ 都一定是 $d$ 的倍数，特别地，一定存在整数 $x,y$，使 $ax+by=d$ 成立。

扩展欧几里得算法可以在 $O(logn)$ 的时间复杂度内求出系数 $x, y$。

C++ 代码

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (!b)
    {
        x = 1; y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= (a/b) * x;
    return d;
}

3. 线性筛素数

可以在 $O(n)$ 的时间复杂度内求出 $1\sim n$ 之间的所有质数。

C++ 代码

int primes[N], cnt;
bool st[N];

void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}

4. 欧拉函数

欧拉函数，一般记为 $\phi(n)$，表示小于等于 $n$ 的数中与 $n$ 互质的数的个数。
如果 $n = p_1 ^ {a_1} \times p_2 ^ {a_2} \times … \times p_m ^ {a_m}$,
则 $\phi(n) = n(1-\frac{1}{p_1})…(1-\frac{1}{p_m})$.

欧拉函数的常用性质：

1. 如果 $n, m$ 互质，则 $\phi(nm) = \phi(n)\phi(m)$;
2. 小于等于 $n$，且与 $n$ 互质的数的和是 $\phi(n)\times n/2$;
3. 欧拉定理：如果 $n, a$ 互质，且均为正整数，则 $a^{\phi(n)} \equiv 1(mod \\ n)$;

下面的代码可以在 $O(n)$ 的时间复杂度内求出 $1 \sim n$ 中所有数的欧拉函数：

int primes[N], euler[N], cnt;
bool st[N];

// 质数存在primes[]中，euler[i] 表示
// i的欧拉函数
void get_eulers(int n)
{
    euler[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i])
        {
            primes[cnt ++ ] = i;
            euler[i] = i - 1;
        }
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0)
            {
                euler[i * primes[j]] = euler[i] * primes[j];
                break;
            }
            euler[i * primes[j]] = euler[i] * (primes[j] - 1);
        }
    }
}