巴西足球员

考虑简化形式：

我们利用分组的方法证明，如果可以用同样的方法将更大的形式缩小就可以证明了，于是我们采用 数学归纳法。

观察 $N(N+1)$ 和 $(N-1)N$，或许我们可以分为 $N$ 个组 $N+1$ 个人，类推，然后尝试满足第 $i[i=N-N’+1]$ 个条件。

何不假设$b_1$是最高的呢，我们只需要因此删掉 $N-1$ 个人。

那如何满足删掉的人数呢，其实只需要找到所有二元组即可，因为 $N(N+1) - (N-1)N = 2N$

我们用容斥原理和一种很巧妙的凑值法解决，这再次印证了，保持形式比不做无用决策更重要。

隐形的兔子

我们需要证明总保证成立或不成立，如果你试图往这个数上靠，反而影响了思路。

不难发现需要证明的是不等式，$200$ 和 $\frac{1}{2}$ 是一个不错的夹逼值。

这个夹逼值若成立则本题不成立，当然你也可以尝试找一下本题成立的夹逼值（不确定上限时为了简化运算取的特殊量）。

我们为了简化运算，决定确定有限个方向和有限个可能点，但至少要有两个。

我们可以将每一次行动都看成选择题，所以可以用上述方法构造，注意猎人的运气很差，二选一总选错。

事实上，这种方法过于精妙以至于被看作人类智慧，但我们对于条件的放缩和转化却是通用的。

数列之和的双解法

我们发现本题答案有单调性，这似乎可以简化问题。

巧妙运用了不等式来证明无解。

非常聪明的解法。

蚱蜢跳跃

用归纳法和反证法，从矛盾中证明。

欺诈猜数游戏

从简化情况出发，看一下我们能有什么决策，

不难发现集合与二进制的关系，如何排除呢？

并不一定是要排除最上面，我们只需要确定这种情况下可以排除，就可以通过分成$2^{k+1}$个集合来等价的方法证明，正如简化版的做法。

我们通过小小的转化和状态机得到了第一问的证明，第二问暂略，大概可以用夹逼法证明。

单调区间

孤单蝴蝶飞

朴素：

当 $n=1$ 时：

第一分钟，$(0,0)$ 飞走。

第二分钟，没有蝴蝶飞走，舒适的有两只。

当 $n=2$ 时：

第一分钟，$(0,0)$，$(0,1)$，$(1,0)$ 飞走。

以此类推，舒适的有五只。

似乎最后舒适的蝴蝶的个数就是 $n^2+1$。

$proof$

由于斜率的变化很有特殊性，不难想到用一种朴素（通用）的方式表述，稍加实验，不难发现如下现象，

我们以向量集构造一条斜线，由于 $k$ 集合是其覆盖之点，算上起始点为 $n^2+1$。

我们怎么证明这样的斜率是最优解呢？

其中引理3最好证明，可以从对称性出发，近似证明剩余引理。

隐形的硬币